Квантование делается без проблем. Проблемы лезут, когда эту теорию пытаются сделать перенормируемой.
Квантование можно проделать, практически, любым известным способом. Каноническое квантование придумали ещё в 30-е годы. Квантование через интеграл по траекториям - тогда же, когда и для других полей. См., напр.,
Фейнмановские лекции по гравитации. Этот подход, в том числе, позволяет строить рассуждения о квазиклассическом поведении квантовой гравитации в окрестности известных классических решений.
Перенормируемость в базовом понимании не лезет ни в какие ворота: константа гравитационного взаимодействия имеет размерность
![$[m^{-2}],$ $[m^{-2}],$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/6/4c627c78e89127728c9e8e1010b322d282.png)
а для перенормируемости необходимо, чтобы степень была

Удаётся перенормировать калибровочные теории, но гравитация не является калибровочной в узком смысле, хотя аналогия очень близка.