Группа SL(R)

[lv00]

Вот такая вот задача: нужно непосредственным вычислением показать, что произвольный элемент группы $SL(2, R)$ нельзя представить с помощью экспоненциального отображения.

Дело в том, что я даже не знаю, как подступиться. Подобрать такой элемент, который нельзя получить экспонентой?..

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

lv00
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Munin]

Странно, а это вообще верно?

[мат-ламер]

Экспонента действительного числа положительна и из неё можно извлечь квадратный корень. Попробуйте переложить эти соображения на язык матриц.

[Otta]

Munin в сообщении #910186 писал(а):

Странно, а это вообще верно?

lv00 в сообщении #910092 писал(а):

произвольный элемент группы $SL(2, R)$ нельзя представить с помощью экспоненциального отображения.

Это - нет.
Видимо, имелось в виду "некоторый".

[lv00]

Munin в сообщении #910186 писал(а):

Странно, а это вообще верно?

Я вот нашел аналогичное задание, там нужно показать, что матрица $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $ не может быть представлена в виде экспоненты.
Тут на ум вот что пришло: т.к. у матрицы $A$ собственные значения $\lambda = -1$, то должно быть, что $\exp(\tilde{\lambda}) = -1$, где $A = \exp(B)$. А это невозможно.

[Munin]

У матрицы $\begin{pmatrix}-1&\hphantom{-}0\\\hphantom{-}0&-1\end{pmatrix}$ тоже собственные значения по минус единичке, однако представить её как экспоненту можно.

[вздымщик Цыпа]

У той матрицы, экспонента которой нужна, должен быть нулевой след. Значит, ее квадрат — диагональная матрица. Можно в лоб выразить значение экспоненты от нее и посмотреть, покрывают ли такие значения все $SL(2)$.