Является ли наше декартово пространство плоским?

[Munin]

Опять что-то непонятное. Колебания будут только при положительной кривизне. При отрицательной - экспоненциальное разбегание.

[evgeniy]

evgeniy в сообщении #909411 писал(а):

$R^{\alpha}_{\beta \gamma \delta}\frac{dx_{\beta}}{d\tau}\frac{dx_{\delta}}{d\tau}$

Эта матрица симметрична по индексам $\alpha,\gamma$ , значит собственные значения действительны. Отрицательные собственные значения не имеют смысла, так как включают растущее решение. Подобрать начальные условия, чтобы коэффициент при растущем решении равнялся нулю не удастся.
Это уравнение очень сомнительно. Ссылку на его вывод в МТУ я не нашел. Есть только качественные соображения по его определению в не релятивистском случае, когда собственные значения положительны.
Но в случае изотропной модели пространства времени, получается что пространство конечно, так как кривизна положительна и уравнение геодезической распространяется на конечное значение отклонения. В случае отрицательной кривизны пространство-время расширяются не ограниченно, и отклонение от геодезической не ограничено.

-- Пт сен 19, 2014 13:56:52 --

Потом нулевая компонента отклонения, равная времени должна расти.

[Munin]

evgeniy в сообщении #909436 писал(а):

Отрицательные собственные значения не имеют смысла, так как включают растущее решение.

Ерунду порете. Отрицательная кривизна бывает, и ничем не хуже положительной. Простой пример - седловая поверхность.

[evgeniy]

На чем я основываю это утверждение. Я пока верю, тому что написано в МТУ. Если формула верна для всех расстояний до геодезической и это смещение мало, как написано в МТУ, то растущего расстояния до пробной геодезической не должно быть. Значит наше пространство устроенно таким образом, что отрицательная кривизна пространства исключается. При этом тензор с нулевой временной компонентой $\alpha$ может быть отрицателен, так как время не ограниченно. Изотропные модели с отрицательной пространственной частью кривизны предполагают бесконечное расширение пространства. Значит пространство не расширяется до бесконечности и модель с отрицательной кривизной не верна. Надо разобраться с формулой МТУ и посмотреть ее вывод, справедлива ли она. Если у вас есть другой источник с приведенной в МТУ формулой, то приведите его. Если она не справедлива, то мое утверждение не правильно.

[Munin]

evgeniy в сообщении #909504 писал(а):

Я пока верю, тому что написано в МТУ.

А стоило бы разобраться до такой степени, чтобы знать и понимать, что написано в МТУ. А не "верить".

evgeniy в сообщении #909504 писал(а):

Если формула верна для всех расстояний до геодезической и это смещение мало, как написано в МТУ, то растущего расстояния до пробной геодезической не должно быть.

Нет, этот вывод неверен.

evgeniy в сообщении #909504 писал(а):

Надо разобраться с формулой МТУ и посмотреть ее вывод, справедлива ли она.

Вот это хорошая цель. Разберитесь.

Вообще на будущее: любой учебник надо читать так, чтобы вывод любой формулы понимать, и знать, справедлива ли она. А не так, что ткнуться, взять наугад формулу, и "верить" ей.

В конце концов, в учебниках бывают даже банальные опечатки.

[evgeniy]

Munin в сообщении #909507 писал(а):

evgeniy в сообщении #909504
писал(а):
Если формула верна для всех расстояний до геодезической и это смещение мало, как написано в МТУ, то растущего расстояния до пробной геодезической не должно быть.
Нет, этот вывод неверен.

Но он подтверждается приведенным вами примером. Величина расстояния до пробной геодезической ограничена радиусом кривизны поверхности. Правда если взять седло, то этого ограничения нет. Все упирается в конечность или бесконечность пространства (бесконечность времени другая вещь, время растет, а пространство возможно растет до определенного предела). Если пространство конечно, то седла не может быть. Или пространство так изрезано, что седло переходит в сферу, что невероятно.
Да, у ЛЛ2 этой формулы нет, а в другой литературе эта формула встречается? Вывода этой формулы в МТУ нет. Правда я читаю первый том.
До свидания, до понедельника.

[Munin]

evgeniy в сообщении #909539 писал(а):

Но он подтверждается приведенным вами примером.

Нет, вывод не может подтверждаться примером. Я дал и другой пример, а вы его проигнорировали.

evgeniy в сообщении #909539 писал(а):

Правда если взять седло, то этого ограничения нет.

И кривизна отрицательная. Всё как надо.

evgeniy в сообщении #909539 писал(а):

Если пространство конечно, то седла не может быть. Или пространство так изрезано, что седло переходит в сферу, что невероятно.

Вы знаете, что такое тор (бублик)? У него на внутренней стороне кривизна отрицательна, и он устроен как седло. А на внешней стороне кривизна положительна, и он устроен как сфера.

Кроме того, можно седло постоянной отрицательной кривизны тоже склеить в такой аналог тора (только не в трёхмерном пространстве). У него не будет нигде положительной кривизны, но при этом, будет конечный объём и диаметр.

evgeniy в сообщении #909539 писал(а):

а в другой литературе эта формула встречается?

Это формула из дифференциальной геометрии (более узко говоря, из римановой геометрии). По ней существуют тонны литературы. МТУ всего лишь приводит некоторые формулы оттуда, которые использует.

[evgeniy]

Локальные свойства среды не имеют постоянного знака тензора кривизны пространства. Поэтому я вычислил решение для отклонения от пробной геодезической для изотропного пространства с положительной и отрицательной кривизной пространства. Вернее я вычислил с положительной кривизной с помощью метода итераций. Вначале полагаю скорость пробного тела нулевой, а потом можно учесть поправки. При нулевой скорости пробного тела тоже получаются отклонения от геодезической согласно формуле. Обязательно выложу выкладки, только их надо проверить.