2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Следствие принципа Архимеда.
Сообщение15.09.2014, 21:39 


15/09/14
10
Из Зорич, стр.61-62
Формулировка: Для любых чисел $a,b \in \mathbb{R}$ таких что $a<b$ найдетсся рациональное число $r\in\mathbb{Q}$ такое что $a<r<b$.
Доказательство:
Подберем $n\in\mathbb{N}$ так, что $0< \frac{1}{n}<b-a$ По принципу Архимеда найдем такое число $m\in\mathbb{Z}$, что $\frac{m-1}{n}\leq a<\frac{m}{n}$ Тогда $\frac{m}{n}<b$, ибо в противном случае мы имели бы $\frac{m-1}{n}\leq a<b\leq\frac{m}{n}$ откуда следовало бы, что $\frac{1}{n}\geq b-a$. Таким образом, $r=\frac mn \in \mathbb{Q}$ и $a<\frac mn <b$

Вопросы по доказательству:
1) почему подбираем $m$ для $a$?
2) непонятно следование $\frac{1}{n}\geq b-a$ из $\frac{m-1}{n}\leq a<b\leq\frac{m}{n}$ Покрутил преобразования - сомневаюсь что ими получили. Из принципа Архимеда? Тогда не уверен, что понял как выводится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Следствие принципа Архимеда.
Сообщение15.09.2014, 21:46 


10/02/11
6786
а вот если исходить из того, что множество действительных чисел это пополнение множества рациональных, то все получается тупо и штатно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Следствие принципа Архимеда.
Сообщение15.09.2014, 22:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Если $b \leq \frac{m}{n}$, то заметив, что $-a \leq \frac{1 - m}{n}$ и сложив неравенства, получите требуемое.

А можно и для $b$ так же

 Профиль  
                  
 
 Re: Следствие принципа Архимеда.
Сообщение15.09.2014, 22:08 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
arkors в сообщении #908208 писал(а):
$\frac{1}{n}\geq b-a$ из $\frac{m-1}{n}\leq a<b\leq{m}{n}$

$mn$ это Ваша опечатка или в учебнике?

 Профиль  
                  
 
 Re: Следствие принципа Архимеда.
Сообщение15.09.2014, 22:11 


15/09/14
10
Опечатка, спасибо, исправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Следствие принципа Архимеда.
Сообщение15.09.2014, 23:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Идете вы по прямой линии с постоянным шагом, а на пути у вас - яма. Так вот, если ширина вашего шага строго меньше ширины ямы, то вы обязательно в нее провалитесь, совершив некоторое количество шагов. Осталось взять рациональную начальную точку и рациональную длину шага.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group