Следствие принципа Архимеда.

[arkors]

Из Зорич, стр.61-62
Формулировка: Для любых чисел $a,b \in \mathbb{R}$ таких что $a<b$ найдетсся рациональное число $r\in\mathbb{Q}$ такое что $a<r<b$.
Доказательство:
Подберем $n\in\mathbb{N}$ так, что $0< \frac{1}{n}<b-a$ По принципу Архимеда найдем такое число $m\in\mathbb{Z}$, что $\frac{m-1}{n}\leq a<\frac{m}{n}$ Тогда $\frac{m}{n}<b$, ибо в противном случае мы имели бы $\frac{m-1}{n}\leq a<b\leq\frac{m}{n}$ откуда следовало бы, что $\frac{1}{n}\geq b-a$. Таким образом, $r=\frac mn \in \mathbb{Q}$ и $a<\frac mn <b$

Вопросы по доказательству:
1) почему подбираем $m$ для $a$?
2) непонятно следование $\frac{1}{n}\geq b-a$ из $\frac{m-1}{n}\leq a<b\leq\frac{m}{n}$ Покрутил преобразования - сомневаюсь что ими получили. Из принципа Архимеда? Тогда не уверен, что понял как выводится.

[Oleg Zubelevich]

а вот если исходить из того, что множество действительных чисел это пополнение множества рациональных, то все получается тупо и штатно...

[SpBTimes]

Если $b \leq \frac{m}{n}$, то заметив, что $-a \leq \frac{1 - m}{n}$ и сложив неравенства, получите требуемое.

А можно и для $b$ так же

[Otta]

arkors в сообщении #908208 писал(а):

$\frac{1}{n}\geq b-a$ из $\frac{m-1}{n}\leq a<b\leq{m}{n}$

$mn$ это Ваша опечатка или в учебнике?

[arkors]

Опечатка, спасибо, исправил.

[demolishka]

Идете вы по прямой линии с постоянным шагом, а на пути у вас - яма. Так вот, если ширина вашего шага строго меньше ширины ямы, то вы обязательно в нее провалитесь, совершив некоторое количество шагов. Осталось взять рациональную начальную точку и рациональную длину шага.