О возникновении разных мат. теорий и прочее

[_hum_]

Lia: Отделено от «Инвариантность размерности пространства»

Xaositect в сообщении #907779 писал(а):

Ну то есть мы с Вами согласны, но говорим об этом разными словами. Математика изучает разные модели сами по себе, а физика применяет эти модели к реальности. Модели в математике развились с помощью формализации, изменения и обобщения из простейших (арифметика, геометрия, логика), которые отражают бытовую интуицию об окружающем мире.

Да, но принципиальный момент - основания математики (как то, теория множеств, геометрия, теория вещественных чисел, мат. логика) построены изначально как математические модели реально фиксируемых в нашем мире отношений между объектами. То есть, не математики взяли из головы аксиомы геометрии, а потом физики проверили, а изначально математики видели, какие существуют отношения в реальности между объектами, и идеализировав их, сформулировали в виде аксиоматики геометрии. То же самое и с теорией множеств, и с математической логикой. Потому и можно говорить, что при доказательстве очередного мат. факта вы неявно доказываете какой-то факт для отношений, существующих в реальности (отчасти этим и объясняется успех математики).
Хотя, конечно, я не отрицаю, что в дальнейшем, формальные теории могут получать и другие интерпретации (та же булева алгебра имеет и логическую, и теоретико-множественную, и вероятностную интерпретации), и строиться новые на базе уже построенных.

[Xaositect]

_hum_ в сообщении #907787 писал(а):

Да, но принципиальный момент - основания математики (как то, теория множеств, геометрия, теория вещественных чисел, мат. логика) построены изначально как математические модели реально фиксируемых в нашем мире отношений между объектами. То есть, не математики взяли из головы аксиомы геометрии, а потом физики проверили, а изначально математики видели, какие существуют отношения в реальности между объектами, и идеализировав их, сформулировали в виде аксиоматики геометрии. То же самое и с теорией множеств, и с математической логикой. Потому и можно говорить, что при доказательстве очередного мат. факта вы неявно доказываете какой-то факт для отношений, существующих в реальности (отчасти этим и объясняется успех математики).

Первые математические теории - да, являлись непосредственно моделями реальности. Остальные, которые строятся на основе этих первых, уже не имеют непосредственной интерпретации. Учитывая, что современные математические теории, называемые словами "арифметика" или "евклидова геометрия" - это не то же самое, что было у древних греков, я бы сказал, что все современные теории непосредственно о каких-то существующих в реальности отношениях не говорят.

Та же неевклидова геометрия началась просто как попытка доказать пятый постулат методом от противного. Оказалось, что противоречия не получается, а получается другая непротиворечивая теория. Какова же, по-Вашему, интерпретация утверждений геометрии Лобачевского как отношений, существующих в реальности?

[_hum_]

Xaositect в сообщении #907795 писал(а):

Первые математические теории - да, являлись непосредственно моделями реальности.

Ну, так здесь речь шла именно об одной из них - евклидовой геометрии :)

Xaositect в сообщении #907795 писал(а):

Та же неевклидова геометрия началась просто как попытка доказать пятый постулат методом от противного. Оказалось, что противоречия не получается, а получается другая непротиворечивая теория. Какова же, по-Вашему, интерпретация утверждений геометрии Лобачевского как отношений, существующих в реальности?

Ну, например, если не ошибаюсь, эта теория допускает интерпретацию в виде геометрии на поверхности тела определенной формы:

[Red_Herring]

_hum_ в сообщении #907787 писал(а):

Потому и можно говорить, что при доказательстве очередного мат. факта вы неявно доказываете какой-то факт для отношений, существующих в реальности (отчасти этим и объясняется успех математики).

Говорить можно все что угодно (язык есть, чего б не сказать). Ну а какой факт для отношений, существующих в реальности был доказан когда был решен вопрос с континуум-гипотезой?

Цитата:

Ну, например, если не ошибаюсь, эта теория допускает интерпретацию в виде геометрии на поверхности тела определенной формы

Допускает—но интерпретация появилась после создания геометрии Лобачевского.

Для модераторов: мне почему-то кажется, что ТС хочет не помощи, а дискуссии. М.б. эта тема созрела для Дискуссионные темы (М)?

[Munin]

Red_Herring в сообщении #907814 писал(а):

М.б. эта тема созрела для Дискуссионные темы (М)?

М. б. для "Пургатория". Потому что никто, кроме ТС, дискуссии не хочет.

[Someone]

Munin в сообщении #907512 писал(а):

Red_Herring в сообщении #907501 писал(а):

Но если говорить о пространствах данной размерности $n<\infty$, то все линейные векторные пространства имеют вполне определенную топологическую структуру, согласованную со структурой векторного пространства.

А если поле какое-нибудь дурацкое без топологии?

Если пространства $\mathbb R^n$ рассматривать как линейные пространства над полем рациональных чисел, а не над полем действительных чисел, то все они будут изоморфны (как и вообще все линейные пространства мощности континуум над полем рациональных чисел). Без учёта топологии, естественно. Топологий же здесь будет весьма много. От нульмерных до бессконечномерных.

[_hum_]

Red_Herring в сообщении #907814 писал(а):

Для модераторов: мне почему-то кажется, что ТС хочет не помощи, а дискуссии. М.б. эта тема созрела для Дискуссионные темы (М)?

ТС никаких дискуссий не хочет и давно уже сказал, что

_hum_ в сообщении #907476 писал(а):

Ветку можно закрывать, ибо пошел оффтоп. Основной вопрос я вроде бы для себя выяснил: непрерывность действительно обеспечивает сохранение размерности, но все же главную роль в том, что наше пространство трехмерно (нельзя на него биективным отображением просто так ввести структуру линейного пространства другой размерности), играет тот факт, что [...]

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #907723 писал(а):

откуда тогда было бы ожидать, что хотя бы одна теория подойдет для описания экспериментов

Это же элементарно! Любая модель как-нибудь подходит для описания чего угодно. Другой вопрос — насколько хорошо — но это другое дело. А когда есть какая-нибудь не особо хорошо подходящая модель, но хочется подходящую получше, тут уже есть откуда начинать поиск. Иногда значительно лучшая (более точная и/или более широко применимая) модель легко получается, а иногда до сих пор не получилась кое для чего.

-- Пн сен 15, 2014 06:35:18 --

_hum_ в сообщении #907848 писал(а):

ТС никаких дискуссий не хочет и давно уже сказал, что <…>

Обещаете, что через полгода не будете спрашивать то же самое?

Впрочем, шансы темы на закрытие как раз усилятся, если тут начнётся оффтоп. Тут не закрывают тихие-мирные темы даже по просьбе ТС.

[_hum_]

arseniiv в сообщении #907875 писал(а):

Любая модель как-нибудь подходит для описания чего угодно.

Ну, если под "как-нибудь" подразумевается в том числе и "никак", то тогда, да, конечно. Но есть строгое определение, что такое корректная интерпретация формальной теории. И в ее рамках не всякую теорию можно применить к чему хочется.

arseniiv в сообщении #907875 писал(а):

Обещаете, что через полгода не будете спрашивать то же самое?

Может, вам не совсем это видно, но я задавал в темах разные вопросы.
Первый был про то, заложено ли в гильбертовской аксиоматике геометрии представление о трехмерности пространства.
Второй - заложено ли в ней понятие направления, направленного отрезка, или это математическая надстройка над геометрией.
И третий, про то, почему все-таки нельзя считать наше пространство другой размерности.

arseniiv в сообщении #907875 писал(а):

Впрочем, шансы темы на закрытие как раз усилятся, если тут начнётся оффтоп. Тут не закрывают тихие-мирные темы даже по просьбе ТС.

Да ради бога, главное, чтобы потом меня не винили, что я тут троллинг устраиваю.

[Red_Herring]

_hum_ в сообщении #907947 писал(а):

Да ради бога, главное, чтобы потом меня не винили, что я тут троллинг устраиваю.

Никакого троллинга. Только философинг и переливалинг из пустовинг в порожнинг

[_hum_]

Red_Herring в сообщении #907954 писал(а):

Никакого троллинга. Только философинг и переливалинг из пустовинг в порожнинг

Вы тоже на философию имеете зуб, что используете ее как ругательство? ;)

[Munin]

_hum_ в сообщении #907959 писал(а):

Вы тоже на философию имеете зуб, что используете ее как ругательство? ;)

На философию имеют зуб все, кто имел несчастье потратить силы и время на знакомство с нею.

Ну и, при этом избежал более печальной участи:

Munin в сообщении #907734 писал(а):

Философия - это такая религия, не менее глупая и вредная, чем какое-нибудь христианство, и не менее липкая к человеческим мозгам. Кто от неё уберёгся - тот может заниматься серьёзным делом. Кто не уберёгся - тот обречён вечно вязнуть в пустой болтовне, одновременно пыжась от собственной важности.

[Xaositect]

_hum_ в сообщении #907796 писал(а):

Xaositect в сообщении #907795 писал(а):

Первые математические теории - да, являлись непосредственно моделями реальности.

Ну, так здесь речь шла именно об одной из них - евклидовой геометрии :)

Xaositect в сообщении #907795 писал(а):

Та же неевклидова геометрия началась просто как попытка доказать пятый постулат методом от противного. Оказалось, что противоречия не получается, а получается другая непротиворечивая теория. Какова же, по-Вашему, интерпретация утверждений геометрии Лобачевского как отношений, существующих в реальности?

Ну, например, если не ошибаюсь, эта теория допускает интерпретацию в виде геометрии на поверхности тела определенной формы

При этой интерпретации плоскостью называется сама псевдосфера, а прямыми - геодезические на ней. И этой интерпретации у Лобачевского не было. По-вашему, утверждения геометрии Лобачевского следует интерпретировать как "если мы найдем некоторые объекты, которые можно сопоставить терминам нашей теории, и отношения между этими объектами таковы, что верны аксиомы нашей теории, то теоремы тоже будут верны"?

[Someone]

_hum_ в сообщении #907796 писал(а):

Xaositect в сообщении #907795 писал(а):

Та же неевклидова геометрия началась просто как попытка доказать пятый постулат методом от противного. Оказалось, что противоречия не получается, а получается другая непротиворечивая теория. Какова же, по-Вашему, интерпретация утверждений геометрии Лобачевского как отношений, существующих в реальности?

Ну, например, если не ошибаюсь, эта теория допускает интерпретацию в виде геометрии на поверхности тела определенной формы:

Во-первых, эта интерпретация несколько ущербная, неполноценная. Во-вторых, появилась она существенно позже работы Лобачевского.

[Red_Herring]

(любомудрствование)

_hum_ в сообщении #907959 писал(а):

Вы тоже на философию имеете зуб, что используете ее как ругательство? ;)

А

Munin в сообщении #908002 писал(а):

На философию имеют зуб все, кто имел несчастье потратить силы и время на знакомство с нею.

Ну, трата сил и времени это еще полбеды. Но м.-л. философия нанесла неисчислимый вред биологии и генетике в СССР (философы пытались атаковать и математику, физику и кибернетику, но там военные пришли на помощь и философы бежали, поджав хвосты).

А преподаватели кафедр общественных дисциплин в советских вузах? Эти паразиты имели гораздо меньшую нагрузку, чем преподаватели даже профилирующих кафедр, не говоря о преподавателях общенаучных кафедр, и там, где я работал их интеллектуальные способности варьировались от low grade moron до bloody idiot их не посылали со студентами в колхоз и им ставили телефоны вне очереди, потому что считалось, что по первому зову трубы они должны бежать в идеологическую битву.