2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение08.09.2014, 09:56 


31/03/06
1384
Вычисления показывают, что если среди последовательных $20$-и значений $b$ нет близких к $1$ c точностью до $0.01$, то произведение $20$-и значений $(b-1)^2$, делённое на $1024^5$ больше $1$.
Покажем, как исключить значения, близкие к $1$ c точностью до $0.01$.
Пусть $(b, w)$ - точка на эллиптической кривой $y^2=x (-x^2+10 x-5)$, и пусть координата $b$ близка к $1$.
Тогда координата $w$ близка к $2$ или $-2$.
Если она близка к $-2$, то следующая точка в циклической группе имеет отрицательное значение первой координаты, большое по абсолютное величине, точнее тем большее, чем ближе $b$ к $1$.
Следующая за этой следующей точкой близка к $(1, 2)$.
Я проверил это при помощи следующего кода на Ubasic:

Код:
10 print "enter b: ";
20 input b
30 print "enter 1 or -1 for the sign of w";
40 input s
50 w=sqrt(b*(-b^2+10*b-5))
60 if s<0 then w=-w
70 for i=1 to 20
80 bn=(b^2-14*b+5+4*w)/(b-1)^2
90 k=(w-2)/(b-1)
100 wn=-(k*bn+2-k)
110 print bn, wn
120 b=bn:w=wn
130 next i
200 end


Если $b=0.99$ и $w<0$, то следующая за следующей точкой равна $(1.01, 2.03)$.
Если $b=1.01$ и $w<0$, то следующая за следующей точкой равна $(0.99, 1.97)$.

Если же $w>0$ и $w$ близка к $2$, то следующая точка близка к $(-1, 4)$, и мы получим значение $b$, близкое к $1$ c точностью до $0.01$ только через $1000$ c чем-то точек.

Если близкая к $(1, 2)$ точка $(b, w)$ следует за точкой $(b_1, w_1)$, то произведение $(b_1-1)^2 (b-1)^2$ имеет большое значение (большее $2000000$ при $b=0.99$).

Таким образом, мы можем исключить точки, близкие к $(1, 2)$ и $(-1, 2)$ и рассматривать произведения последовательных значений $(b-1)^2$, которые не включают значения $b$, близкие к $1$.

Исходя из вышеизложенного, доказательство роста знаменателей числа $b$ становится делом техники и несложной компьютерной проверки.

-- Пн сен 08, 2014 10:01:10 --

Исправление
-----------------

Цитата:
Необязательно брать произведение $56$ последовательных значений $(b-1)^2$.
Произведение $40$ значений тоже видимо всегда меньше $1$.


исправляется на:

Цитата:
Необязательно брать произведение $56$ последовательных значений $(b-1)^2$.
Произведение $40$ значений, делённое на $1024^{10}$ тоже видимо всегда больше $1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение08.09.2014, 16:42 


31/03/06
1384
Теперь займёмся выражениями:

(70)
$-y z=4 d_4 (c_0 c_2 d_2^5+16 c_1^2 d_4^5+40 c_4 d_2^5 d_4^5)$
$x^2=d_2 (c_0^2 d_2^5+64 c_1 c_4 d_4^5+160 c_2 d_2^5 d_4^5)$

которые играют решающую роль в этом доказательстве ВТФ для $n=5$.
Доказательство не завершено, но на основании вычислений, я уверен, что его можно завершить.
Для начала, избавимся от $d_2^5$ и $d_4^5$, используя равенства (2.3):

Код:
d25:=-(c4^2+4*c1*c2)/(5*c0);
d45:=-(c2^2+c0*c4)/(80*c1);

v1:=4*(c0*c2*d25+16*c1^2*d45+40*c4*d25*d45);
v2:=c0^2*d25+64*c1*c4*d45+160*c2*d25*d45;


Получим:

(72)
$-y z=2 d_4 (-2 c_0^2 c_1^2 c_4-10 c_0 c_1^2 c_2^2+2 c_0 c_1 c_2 c_4^2+c_0 c_4^4+4 c_1 c_2^3 c_4+c_2^2 c_4^3)/(5 c_0 c_1)$
$x^2=d_2 (-4 c_0^2 c_1^2 c_2-5 c_0^2 c_1 c_4^2+4 c_0 c_1 c_2^2 c_4+2 c_0 c_2 c_4^3+8 c_1 c_2^4+2 c_2^3 c_4^2)/(5 c_0 c_1)$

Я заметил, что можно получить более простые выражения, используя равенства:

(6.6) $5 (a_2^2 a_4)=2 a_3 (a_0^2-a_1 a_4-a_2 a_3)$

(6.7) $5 (a_2 a_4^2)=a_3 (2 a_1^2-a_0 a_2-2 a_3 a_4)$

Запишем эти равенства с переменными $c_0, c_1, c_2, c_4, d_2, d_4$:

Код:
d0:=2*d4*d2;
a2:=d0*d2*c2;
a4:=d0*d4*c4;
a3:=d0*10*(d2*d4)^3;

a0:=d2^3*c0;
a1:=8*d4^3*c1;

5*(a2^2*a4)/(2*a3);
a0^2-a1*a4-a2*a3;

5*(a2*a4^2)/a3;
2*a1^2-a0*a2-2*a3*a4;


Получим:

(6.6.1) $c_2^2 c_4=c_0^2 d_2^5-16 c_1 c_4 d_4^5-40 c_2 d_2^5 d_4^5$

(6.7.1) $c_2 c_4^2=-c_0 c_2 d_2^5+64 c_1^2 d_4^5-40 c_4 d_2^5 d_4^5$

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение08.09.2014, 19:08 


31/03/06
1384
Из (6.7.1) и первого равенства (70) следует: $-y z=4 d_4 (80 c_1^2 d_4^5-c_2 c_4^2)$.
Из этого равенства и первого равенства (2.3) следует: $-y z=4 d_4 (c_1 (-c_2^2-c_0 c_4)-c_2 c_4^2)$, следовательно $-y z=-4 d_4 (c_1 c_2^2+c_0 c_1 c_4+c_2 c_4^2)$.

Из (6.6.1) и второго равенства (70) следует: $x^2=d_2 (5 c_0^2 d_2^5-4 c_2^2 c_4)$.
Из этого равенства и второго равенства (2.3) следует: $x^2=d_2 (c_0 (-c_4^2-4 c_1 c_2)-4 c_2^2 c_4)$, следовательно $x^2=-d_2 (c_0 c_4^2+4 c_0 c_1 c_2+4 c_2^2 c_4)$.

Значит:

(73)
$-y z=-4 d_4 (c_1 c_2^2+c_0 c_1 c_4+c_2 c_4^2)$
$x^2=-d_2 (c_0 c_4^2+4 c_0 c_1 c_2+4 c_2^2 c_4)$

Равенства (73) гораздо проще равенств (72).

Мы должны убедится, что равенства (72) и (73) равносильны.
Если окажется, что это не так, значит где-то мы допустили ошибку, которую следует найти и исправить.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение08.09.2014, 20:43 


31/03/06
1384
Проверим равносильность первых равенств (72) и (73):

Код:
2*(-2*c0^2*c1^2*c4-10*c0*c1^2*c2^2+2*c0*c1*c2*c4^2+c0*c4^4+4*c1*c2^3*c4+c2^2*c4^3)/(5*c0*c1)+4*(c1*c2^2+c0*c1*c4+c2*c4^2);


Получим: $2 c_4 (8 c_0^2 c_1^2+12 c_0 c_1 c_2 c_4+c_0 c_4^3+4 c_1 c_2^3+c_2^2 c_4^2)/(5 c_0 c_1)$.

Это выражение равно нулю, в силу (50).

Теперь проверим равносильность вторых равенств (72) и (73):

Код:
(-4*c0^2*c1^2*c2-5*c0^2*c1*c4^2+4*c0*c1*c2^2*c4+2*c0*c2*c4^3+8*c1*c2^4+2*c2^3*c4^2)/(5*c0*c1)+(c0*c4^2+4*c0*c1*c2+4*c2^2*c4);


Получим: $2 c_2 (8 c_0^2 c_1^2+12 c_0 c_1 c_2 c_4+c_0 c_4^3+4 c_1 c_2^3+c_2^2 c_4^2)/(5 c_0 c_1)$.

Это выражение равно нулю, в силу (50).

Проверено.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение09.09.2014, 05:38 


31/03/06
1384
Из (73) следует:

(74)
$-y z=-1/4 d_4 c_2 c_4^2 ((b_1-1) (b_2-1)+2 (b_2-1)+16)$
$x^2=-1/4 d_2 c_4 c_2^2 ((b_1-1) (b_2-1)+2 (b_1-1)+16)$

или

(75)
$-y z=-1/4 d_4 c_2 c_4^2 ((b_1+1) (b_2-1)+16)$
$x^2=-1/4 d_2 c_4 c_2^2 ((b_1-1) (b_2+1)+16)$

Это проверяется следующим кодом:

Код:
b1:=(c2^2+2*c0*c4)/c2^2;
b2:=(c4^2+8*c1*c2)/c4^2;
(b1+1)*(b2-1)+16;
(b1-1)*(b2+1)+16;


Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение09.09.2014, 19:56 


31/03/06
1384
Из (75) следует:

(76) $4^{15} (x y z)^{10}=-d_4^{10} d_2^5 c_2^{20} c_4^{25} ((b_1+1) (b_2-1)+16)^{10} ((b_1-1) (b_2+1)+16)^5$

Выразим теперь $d_4^{10}$ и $d_2^5$ через $c_0, c_1, c_2, c_4$ из первого и второго равенства (2.3):

(77)
$6400 d_4^{10}=(c_2^2 (b_1+1)/(2 c_1))^2$
$5 d_2^5=-c_4^2 (b_2+1)/(2 c_0)$

Из (77) следует:

(78) $256000 d_2^5 d_4^{10}=-c_2^4 c_4^2 (b_1+1)^2 (b_2+1)/(c_0 c_1^2)$.

Имеем:

(79)
$c_0=(b_1-1) c_2^2/(2 c_4)$
$c_1=(b_2-1) c_4^2/(8 c_2)$

Из (79) следует:

(80) $c_0 c_1^2=(b_1-1) (b_2-1)^2 c_4^3/128$

Из (78) и (80) следует:

(81) $2000 d_2^5 d_4^{10}=-c_2^4 (b_1+1)^2 (b_2+1)/(c_4 (b_1-1) (b_2-1)^2)$

Из (76) и (81) следует:

(82) $2000 \cdot 4^{15} (x y z)^{10}=c_2^{24} c_4^{24} ((b_1+1) (b_2-1)+16)^{10} ((b_1-1) (b_2+1)+16)^5 (b_1+1)^2 (b_2+1)/((b_1-1) (b_2-1)^2)$

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение10.09.2014, 06:41 


31/03/06
1384
Правая часть равенства (82) определяется числами $b_1$ и $b_2$, знаменателями которых являются соответственно $c_2^2$ и $c_4^2$.
Точки $(b_1, w_1)$ и $(b_2, w_2)$ следуют одна за другой в циклической группе точек, генерированной точкой $(1, 2)$.
Возможны два случая: 1) точка $(b_2, w_2)$ следует за $(b_1, w_1)$ и 2) точка $(b_1, w_1)$ следует за $(b_2, w_2)$.
Рассмотрим эти два случая по отдельности.

1) точка $(b_2, w_2)$ следует за $(b_1, w_1)$.

Пусть точка $(b'_1, w'_1)$ следует за $(b_2, w_2)$, и пусть $c'_2^2$ является знаменателем числа $b'_1$.
Правая часть равенства (82) равна $f_1(b_1, b_2) f_2(b_1, b_2)$, где

$f_1(b_1, b_2)=c_2^{24} c_4^{24}$,
$f_2(b_1, b_2)=((b_1+1) (b_2-1)+16)^{10} ((b_1-1) (b_2+1)+16)^5 (b_1+1)^2 (b_2+1)/((b_1-1) (b_2-1)^2)$.

Вычисления показывают, что $f_1(b'_1, b_2) f_2(b'_1, b_2)$ всегда больше чем $f_1(b_1, b_2) f_2(b_1, b_2)$.
Наша задача это доказать.
Если $b_2$ не находится вблизи $1$ c точностью, скажем, до $0.01$, то число $b_1$ ограничено по абсолютной величине некоторым конкретным числом, следовательно число $f_2(b_1, b_2)$ тоже ограничено (знаменатель этого выражения отстоит от нуля больше чем на $0.0001$, c учётом того, что $b_1<0$).
Вычисления показывают, что если $b_2$ находится вблизи от $5+2 \sqrt{5}$, то $b'_1$ находится вблизи от $-0.528$, и $(b'_1-1)(b_2+1)+16$ находится вблизи от нуля.
В дальнейшем мы собираемся доказать, что если $b_2$ не находится вблизи от $5+2 \sqrt{5}$, то $(b'_1-1)(b_2+1)+16$ и $(b'_1+1)(b_2-1)+16$ не находятся вблизи от нуля.
Значит, если $b_2$ не находится вблизи $1$ и не находится вблизи $5+2 \sqrt{5}$, c точностью, скажем, до $0.01$, то отношение $f_2(b_1, b_2)/f_2(b'_1, b_2)$ ограничено некоторым конкретным числом.
Можно показать, что отношение $f_1(b'_1, b_2)/f_1(b_1, b_2)=c'_2^{24}/c_2^{24}$, являющееся отношением знаменателей, больше этого конкретного числа (исходя из результатов вычислений и нашего обсуждения роста знаменателей).

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение10.09.2014, 08:26 


31/03/06
1384
Если $b_2$ находится вблизи от $5+2 \sqrt{5}$, то и $b_1$ и $b'_1$ находятся вблизи от $-0.528$, числа $(b_1-1)(b_2+1)+16$ и $(b'_1-1)(b_2+1)+16$ находятся вблизи нуля, но их отношение, возможно, ограничено.
Если $b_2$ находится вблизи от $1$, то отношение

$f_1(b'_1, b_2)/f_1(b_1, b_2)=c'_2^{24}/c_2^{24}=((c'_2^2/c_4^2) (c_4^2/c_2^2))^{12}=((c'_2^2/c_4^2)^2 16/(b_2-1)^2)^{12}=(c'_2/c_4)^{24} 16^{12}/(b_2-1)^{24}$,

а отношение

$f_2(b_1, b_2)/f_2(b'_1, b_2)=(((b_1+1) (b_2-1)+16)^{10} ((b_1-1) (b_2+1)+16)^5 (b_1+1)^2/(b_1-1))/(((b'_1+1) (b_2-1)+16)^{10} ((b'_1-1) (b_2+1)+16)^5 (b'_1+1)^2/(b'_1-1))$

ограничено числом порядка $1/(b_2-1)^{22}$, поскольку $(b_1+1) (b_2-1)$ ограничено числом порядка $1/(b_2-1)$, $(b_1-1) (b_2+1)$ ограничено числом порядка $1/(b_2-1)^2$, и $(b_1+1)^2/(b_1-1)$ ограничено числом порядка $1/(b_2-1)^2$, поскольку число $b_1$ ограничено числом порядка $1/(b_2-1)^2$.

Я думаю, что неравенство $f_1(b'_1, b_2) f_2(b'_1, b_2)>f_1(b_1, b_2) f_2(b_1, b_2)$ можно таким образом строго доказать.
Как мы уже отмечали, из этого неравенства следует ВТФ для $n=5$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение10.09.2014, 15:48 


31/03/06
1384
Теперь у нас есть новая тема (тема 5), в которой мы будем писать леммы начисто, но искать их мы будем здесь.
Наша первая задача: доказать следующую лемму:

Обозначим $g=\sqrt[5]{2}$.
Пусть $x$ и $v$ - целые взаимно-простые числа, $x$ - нечётное число и $xv$ делится на 5.
Пусть $x^{10}-4 v^5=a^2$, где $a$ - ненулевое целое число.

Тогда

$x^2-g^2 v=u \beta^2$,

где $u$ - некоторый делитель единицы в кольце $\mathbb{Z}[g]$, а $\beta$ - некоторое число этого кольца.

Для этого нам нужно найти разложение чисел $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$ на простые множители в кольце $\mathbb{Z}[g]$.
После этого мы сможем применить наш метод, который мы использовали при доказательстве ВТФ для $n=3$.
Мы, конечно, могли бы вместо этого просто сослаться на прoграмму "gp/Pari", которая выдаёт, что количество классов поля $\mathbb{Q}[g]$ равно $1$, но это не доказательство.
Однако, можно использовать "gp/Pari" для разложения вышеуказанных простых чисел на простые множители в кольце $\mathbb{Z}[g]$.

Код:
A=bnfinit(x^5-2);
P=idealprimedec(A, 3);
pr=P[1];
pr.gen
pr.f
pr.e


Получим множитель $1+g$, норма которого равна $3$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение10.09.2014, 19:19 


31/03/06
1384
Удобнее делать это в программе "Sage":

Код:
K.<a>=NumberField(x^5-2);K
I=K.ideal(7);
F=I.factor();F
J=K.ideal(a^2+a+1);
J.norm()


Получим число $g^2+g+1$, норма которого равна $7$.
Таким же способом найдём число $-g^2-1$, норма которого равна $5$,
число $-g^4+g^3+1$, норма которого равна $13$.
Что касается числа $11$, то оно, по-видимому, простое не только в кольце целых чисел, но и в кольце $\mathbb{Z}[g]$.
Однако, это нужно будет доказать.
В этом случае, в кольце $\mathbb{Z}[g]$ не существует числа с нормой $11^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение10.09.2014, 21:19 


31/03/06
1384
Чтобы показать, что в кольце $\mathbb{Z}[g]$ не существует числа с нормой $11^2$, можно воспользоваться малой теоремой Ферма для идеалов.
Предположим такое число существует, и пусть $\rho$ - простой идеал, делящий это число. Тогда норма этого числа, равная $11^2$, делится на норму $\rho$, следовательно норма $\rho$ равна либо $11$, либо $11^2$.
Следовательно, либо $g^{10}-1=3$ делится на $\rho$, либо $g^{120}-1=4^{12}-1$ делится на $\rho$, в силу малой теоремы Ферма для идеалов.
Но это невозможно, поскольку ни $3$, ни $4^{12}-1$ не делится на $11$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение13.09.2014, 07:03 


31/03/06
1384
Исправим ошибку: норма числа $-g^2-1$ равна не $5$, а $-5$, хотя норма идеала, генерируемого этим числом равна $5$. Я вообще не понимаю откуда взялось это число: "Sage" выдаёт $g^2+1$.
Теперь мы можем не использовать "Sage" для обнаружения простых делителей-идеалов простого числа $p$.
Вместо этого мы можем использовать лемму 2.2 из "темы 5" и искать делители числа $g^{p-1}-1$, норма которых равна $p$.
Для $p=13$ получим $g^4-g^2+1=(g^6+1)/(g^2+1)$.
Норма этого числа равна $(2^6+1)/(2^2+1)=13$.
Мне не сразу удалось доказать что $-g^4+g^3+1$ и $g^4-g^2+1$ делятся друг на друга ("Sage" выдал первое число)
Находим один простой делитель числа $p$, произведение сопряжённых с ним даст второй простой делитель.
Чтобы доказать простоту этого второго делителя, норма которого равна $p^4$ можно использовать лемму 2.3 из "темы 5".
Наша цель доказать, что все простые делители-идеалы чисел $2, 3, 5, 7, 11, 13$ - главные.
Теперь идём в "тему 5" и докажем соответсвующую лемму.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение15.09.2014, 00:55 


31/03/06
1384
В этой теме, мы начали с равенств

(2)
$2 a_0 a_4+2 a_1 a_3+a_2^2=0$
$a_0 a_3+a_1 a_2+a_4^2=0$
$a_0 a_1+2 a_2 a_4+a_3^2=0$

Затем перешли от этих равенств к равенствам:

(2.3)
$c_0 c_4+80 c_1 d_4^5+c_2^2=0$
$5 c_0 d_2^5+4 c_1 c_2+c_4^2=0$
$c_0 c_1+c_2 c_4+50 d_2^5 d_4^5=0$

Потом мы определили числа $b_1$ и $b_2$ которые оказались первой координатой точек на эллиптической кривой $y^2=x (-x^2+10 x-5)$.
Оказалось, что числа $b_1$ и $b_2$ однозначно определяют числа $c_0, c_1, c_2, c_4$, входящие в равенства (2.3).
Затем мы выразили число $(x y z)^2$ через $b_1$ и $b_2$ и оказалоcь, что это число растёт при переходе от предыдущей точки эллиптической кривой к следующей.
Из этого роста следует ВТФ для $n=5$, поскольку, меняя $x$ и $y$ местами, получим разные точки
на эллиптической кривой, а число $(x y z)^2$ от перемены мест сомножителей не меняется.

Было бы несколько проще определить числа $b_1$ и $b_2$ из равенств (2) не переходя к равенствам (2.3).
Возможно, потом нам всё равно пришлось бы перейти от чисел $a_0, a_1, a_2, a_4$ к $c_0, c_1, c_2, c_4$ поскольку числа $c_2^2$ и $c_4^2$, а не $a_2^2$ и $a_4^2$ являются знаменателями чисел $b_1$ и $b_2$.

Мы пойдём по этому пути, чтобы определить не проще ли он.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение15.09.2014, 03:01 


31/03/06
1384
Из (2) следует: $(2 a_0 a_4+a_2^2)(a_1 a_2+a_4^2)=-2 a_0 a_1 (a_0 a_1+2 a_2 a_4)$

или

(50.A) $2 (a_0 a_1)^2+6 (a_0 a_1)(a_2 a_4)+(a_2 a_4)^2=-(2 a_0 a_4^3+a_1 a_2^3)$

Пусть $v_1=a_0 a_1$, $v_2=a_2 a_4$, $v_3=(2 a_0 a_4^3-a_1 a_2^3)$.

Тогда $(2 v_1^2+6 v_1 v_2+v_2^2)^2-8 v_1 v_2^3=v_3^2$

или

(51.A) $4 v_1^4+24 v_1^3 v_2+40 v_1^2 v_2^2+4 v_1 v_2^3+v_2^4=v_3^2$

Пусть $v_3=2 v_1^2+6 v_1 v_2+b_1 v_2^2$, где $b_1$ - рациональное число.

Тогда $v_3^2=4 v_1^4+24 v_1^3 v_2+(36+4 b_1) v_1^2 v_2^2+12 b_1 v_1 v_2^3+b_1^2 v_2^4$.

Из этого равенства и (51.A) следует:

(52.A) $(4 b_1-4) v_1^2 v_2^2+(12 b_1-4) v_1 v_2^3+(b_1^2-1) v_2^4=0$

Следовательно, $(6 b_1-2)^2-(4 b_1-4) (b_1^2-1)=4 b_1 (-b_1^2+10 b_1-5)$ является квадратом рационального числа.

Следовательно:

(53.A)
Пусть $v_1=a_0 a_1, v_2=a_2 a_4, v_3=(2 a_0 a_4^3-a_1 a_2^3)$.
Пусть $b_1=(v_3-2 v_1^2-6 v_1 v_2)/v_2^2$.

Тогда $b_1 (-b_1^2+10 b_1-5)$ является квадратом рационального числа.

Из (50.A) следует:

(54.A) $b_1=((a_2 a_4)^2+4 a_0 a_4^3)/(a_2 a_4)^2=(a_2^2+4 a_0 a_4)/a_2^2$.


Пусть теперь $-v_3=2 v_1^2+6 v_1 v_2+b_2 v_2^2$, где $b_2$ - рациональное число.

Тогда

(52.2.A) $(4 b_2-4) v_1^2 v_2^2+(12 b_2-4) v_1 v_2^3+(b_2^2-1) v_2^4=0$

(53.2.A)
Пусть $v_1=a_0 a_1, v_2=a_2 a_4, v_3=(2 a_0 a_4^3-a_1 a_2^3)$.
Пусть $b_2=(-v_3-2 v_1^2-6 v_1 v_2)/v_2^2$.

Тогда $b_2 (-b_2^2+10 b_2-5)$ является квадратом рационального числа.

Из (50.A) следует:

(54.2.A) $b_2=((a_2 a_4)^2+2 a_1 a_2^3)/(a_2 a_4)^2=(a_4^2+2 a_1 a_2)/a_4^2$.

Найдём связь между $b_1$ и $b_2$.
Мы определили $v_1=a_0 a_1$, $v_2=a_2 a_4$.
Следовательно, $(b_1-1) (b_2-1)=8 v_1/v_2$.
Подставим это значение $v_1/v_2$ в (52.A):

(52.A) $(4 b_1-4) v_1^2 v_2^2+(12 b_1-4) v_1 v_2^3+(b_1^2-1) v_2^4=0$

Получим: $(1/16) (b_1-1)^3 (b_2-1)^2+(1/2) (3 b_1-1) (b_1-1) (b_2-1)+(b_1^2-1)=0$.
Следовательно, $(b_1-1)^2 (b_2-1)^2+8 (3 b_1-1) (b_2-1)+16 (b_1+1)=0$, поскольку $b_1 \ne 1$.

Последнее равенство можно привести к симметричной относительно $b_1$ и $b_2$ форме:

(60.A) $(b_1-1)^2 (b_2-1)^2+8 (b_1-1) (b_2-1)+16 b_1 b_2+16=0$

Расскроем скобки.

Получим: $b_1^2 (b_2^2-2 b_2+1)+b_1 (-2 b_2^2+28 b_2-10)+(b_2^2-10 b_2+25)=0$

Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения.

Получим $16 b_2 (-b_2^2+10 b_2-5)$.
Значит:

(61.A) $b_1=(b_2^2-14 b_2+5 \pm 4 w_2)/(b_2-1)^2$, где $w_2^2=b_2 (-b_2^2+10 b_2-5)$.

В силу симметрии (60.A), получим:

(62.A) $b_2=(b_1^2-14 b_1+5 \pm 4 w_1)/(b_1-1)^2$, где $w_1^2=b_1 (-b_1^2+10 b_1-5)$.

Из (61.A) и (62.A) следует, что если что если число $b_2$ определяет точку на эллиптической кривой $b (-b^2+10 b-5)=w^2$, то число $b_1$, вычисленное по формуле (61.A) также определяет точку на этой кривой.

Точка $b_1$, вычисленная по формуле (61.A) является следующей или предыдущей точкой за $b_2$, в зависимости от знака $+$ или $-$ в этой формуле.

Мы уже это доказывали.

Продолжение следует.

-- Пн сен 15, 2014 03:20:55 --

Проверим, что значения: $b_1=(a_2^2+4 a_0 a_4)/a_2^2$ и $b_2=(a_4^2+2 a_1 a_2)/a_4^2$ совпадают с полученными ранее значениями: $b_1=(c_2^2+2 c_0 c_4)/c_2^2$ и $b_2=(c_4^2+8 c_1 c_2)/c_4^2$.

Код:
d0:=2*d4*d2;
a2:=d0*d2*c2;
a4:=d0*d4*c4;
a3:=d0*10*(d2*d4)^3;

a0:=d2^3*c0;
a1:=8*d4^3*c1;

b1:=(a2^2+4*a0*a4)/a2^2;

b2:=(a4^2+2*a1*a2)/a4^2;


Проверено.

Мы уже получили некоторое упрощение, потому что не нужно было выводить равенства (2.3), а в итоге мы получили то же самое.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4
Сообщение21.09.2014, 04:31 


31/03/06
1384
Упрощения не получилось, поскольку нам всё равно нужны равенства (2.3). Отметим один недостаток в "теме 5": равенства (2.3) или по-новому ((4.11.1)-(4.11.3)) нужно было доказывать не в лемме 4.11, а при более слабых предположениях,тогда потом не нужно было бы доказывать их снова.

Мы достигли момента в "теме 5", когда уже имеется равенство:

$2000 \cdot 4^{15} (x y z)^{10}=c_2^{24} c_4^{24} ((b_1+1) (b_2-1)+16)^{10} ((b_1-1) (b_2+1)+16)^5 (b_1+1)^2 (b_2+1)/((b_1-1) (b_2-1)^2)$.

Точных оценок правой части этого равенства мы ещё не делали в этой теме.
Оценим выражения $((b_1+1) (b_2-1)+16)$ и $((b_1-1) (b_2+1)+16)$.
Каждое из этих выражений представляется двумя различными функциями от $b_2$:
$b_1=(b_2^2-14 b_2+5 \pm \sqrt{b_2 (-b_2^2+10 b_2-5)})/(b_2-1)^2$.
Одна функция получается если взять $+$ вместо $\pm$ другая - $-$.
Может помочь график зависимости от $b_2$, но график, построенный математической программой не является доказательством.
Мы дали метод оценки выражений $((b_1+1) (b_2-1)+16)$ и $((b_1-1) (b_2+1)+16)$ в окрестности точки $b_2=1$: чтобы компенсировать большое отрицательное значение числа $b_1$, первое выражение умножается на $b_2-1$, второе на $(b_2-1)^2$.
Отдельно будем оценивать эти выражения вне этой окрестности.
Определим области возрастания и убывания этих выражений.
Для этого найдём производные по $b_2$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 70 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group