ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 4

[Феликс Шмидель]

Вычисления показывают, что если среди последовательных $20$-и значений $b$ нет близких к $1$ c точностью до $0.01$, то произведение $20$-и значений $(b-1)^2$, делённое на $1024^5$ больше $1$.
Покажем, как исключить значения, близкие к $1$ c точностью до $0.01$.
Пусть $(b, w)$ - точка на эллиптической кривой $y^2=x (-x^2+10 x-5)$, и пусть координата $b$ близка к $1$.
Тогда координата $w$ близка к $2$ или $-2$.
Если она близка к $-2$, то следующая точка в циклической группе имеет отрицательное значение первой координаты, большое по абсолютное величине, точнее тем большее, чем ближе $b$ к $1$.
Следующая за этой следующей точкой близка к $(1, 2)$.
Я проверил это при помощи следующего кода на Ubasic:

10 print "enter b: ";
20 input b
30 print "enter 1 or -1 for the sign of w";
40 input s
50 w=sqrt(b*(-b^2+10*b-5))
60 if s<0 then w=-w
70 for i=1 to 20
80 bn=(b^2-14*b+5+4*w)/(b-1)^2
90 k=(w-2)/(b-1)
100 wn=-(k*bn+2-k)
110 print bn, wn
120 b=bn:w=wn
130 next i
200 end

Если $b=0.99$ и $w<0$, то следующая за следующей точкой равна $(1.01, 2.03)$.
Если $b=1.01$ и $w<0$, то следующая за следующей точкой равна $(0.99, 1.97)$.

Если же $w>0$ и $w$ близка к $2$, то следующая точка близка к $(-1, 4)$, и мы получим значение $b$, близкое к $1$ c точностью до $0.01$ только через $1000$ c чем-то точек.

Если близкая к $(1, 2)$ точка $(b, w)$ следует за точкой $(b_1, w_1)$, то произведение $(b_1-1)^2 (b-1)^2$ имеет большое значение (большее $2000000$ при $b=0.99$).

Таким образом, мы можем исключить точки, близкие к $(1, 2)$ и $(-1, 2)$ и рассматривать произведения последовательных значений $(b-1)^2$, которые не включают значения $b$, близкие к $1$.

Исходя из вышеизложенного, доказательство роста знаменателей числа $b$ становится делом техники и несложной компьютерной проверки.

-- Пн сен 08, 2014 10:01:10 --

Исправление
-----------------

Цитата:

Необязательно брать произведение $56$ последовательных значений $(b-1)^2$.
Произведение $40$ значений тоже видимо всегда меньше $1$.

исправляется на:

Цитата:

Необязательно брать произведение $56$ последовательных значений $(b-1)^2$.
Произведение $40$ значений, делённое на $1024^{10}$ тоже видимо всегда больше $1$.

[Феликс Шмидель]

Теперь займёмся выражениями:

(70)
$-y z=4 d_4 (c_0 c_2 d_2^5+16 c_1^2 d_4^5+40 c_4 d_2^5 d_4^5)$
$x^2=d_2 (c_0^2 d_2^5+64 c_1 c_4 d_4^5+160 c_2 d_2^5 d_4^5)$

которые играют решающую роль в этом доказательстве ВТФ для $n=5$.
Доказательство не завершено, но на основании вычислений, я уверен, что его можно завершить.
Для начала, избавимся от $d_2^5$ и $d_4^5$, используя равенства (2.3):

d25:=-(c4^2+4*c1*c2)/(5*c0);
d45:=-(c2^2+c0*c4)/(80*c1);

v1:=4*(c0*c2*d25+16*c1^2*d45+40*c4*d25*d45);
v2:=c0^2*d25+64*c1*c4*d45+160*c2*d25*d45;

Получим:

(72)
$-y z=2 d_4 (-2 c_0^2 c_1^2 c_4-10 c_0 c_1^2 c_2^2+2 c_0 c_1 c_2 c_4^2+c_0 c_4^4+4 c_1 c_2^3 c_4+c_2^2 c_4^3)/(5 c_0 c_1)$
$x^2=d_2 (-4 c_0^2 c_1^2 c_2-5 c_0^2 c_1 c_4^2+4 c_0 c_1 c_2^2 c_4+2 c_0 c_2 c_4^3+8 c_1 c_2^4+2 c_2^3 c_4^2)/(5 c_0 c_1)$

Я заметил, что можно получить более простые выражения, используя равенства:

(6.6) $5 (a_2^2 a_4)=2 a_3 (a_0^2-a_1 a_4-a_2 a_3)$

(6.7) $5 (a_2 a_4^2)=a_3 (2 a_1^2-a_0 a_2-2 a_3 a_4)$

Запишем эти равенства с переменными $c_0, c_1, c_2, c_4, d_2, d_4$:

d0:=2*d4*d2;
a2:=d0*d2*c2;
a4:=d0*d4*c4;
a3:=d0*10*(d2*d4)^3;

a0:=d2^3*c0;
a1:=8*d4^3*c1;

5*(a2^2*a4)/(2*a3);
a0^2-a1*a4-a2*a3;

5*(a2*a4^2)/a3;
2*a1^2-a0*a2-2*a3*a4;

Получим:

(6.6.1) $c_2^2 c_4=c_0^2 d_2^5-16 c_1 c_4 d_4^5-40 c_2 d_2^5 d_4^5$

(6.7.1) $c_2 c_4^2=-c_0 c_2 d_2^5+64 c_1^2 d_4^5-40 c_4 d_2^5 d_4^5$

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Из (6.7.1) и первого равенства (70) следует: $-y z=4 d_4 (80 c_1^2 d_4^5-c_2 c_4^2)$.
Из этого равенства и первого равенства (2.3) следует: $-y z=4 d_4 (c_1 (-c_2^2-c_0 c_4)-c_2 c_4^2)$, следовательно $-y z=-4 d_4 (c_1 c_2^2+c_0 c_1 c_4+c_2 c_4^2)$.

Из (6.6.1) и второго равенства (70) следует: $x^2=d_2 (5 c_0^2 d_2^5-4 c_2^2 c_4)$.
Из этого равенства и второго равенства (2.3) следует: $x^2=d_2 (c_0 (-c_4^2-4 c_1 c_2)-4 c_2^2 c_4)$, следовательно $x^2=-d_2 (c_0 c_4^2+4 c_0 c_1 c_2+4 c_2^2 c_4)$.

Значит:

(73)
$-y z=-4 d_4 (c_1 c_2^2+c_0 c_1 c_4+c_2 c_4^2)$
$x^2=-d_2 (c_0 c_4^2+4 c_0 c_1 c_2+4 c_2^2 c_4)$

Равенства (73) гораздо проще равенств (72).

Мы должны убедится, что равенства (72) и (73) равносильны.
Если окажется, что это не так, значит где-то мы допустили ошибку, которую следует найти и исправить.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Проверим равносильность первых равенств (72) и (73):

2*(-2*c0^2*c1^2*c4-10*c0*c1^2*c2^2+2*c0*c1*c2*c4^2+c0*c4^4+4*c1*c2^3*c4+c2^2*c4^3)/(5*c0*c1)+4*(c1*c2^2+c0*c1*c4+c2*c4^2);

Получим: $2 c_4 (8 c_0^2 c_1^2+12 c_0 c_1 c_2 c_4+c_0 c_4^3+4 c_1 c_2^3+c_2^2 c_4^2)/(5 c_0 c_1)$.

Это выражение равно нулю, в силу (50).

Теперь проверим равносильность вторых равенств (72) и (73):

(-4*c0^2*c1^2*c2-5*c0^2*c1*c4^2+4*c0*c1*c2^2*c4+2*c0*c2*c4^3+8*c1*c2^4+2*c2^3*c4^2)/(5*c0*c1)+(c0*c4^2+4*c0*c1*c2+4*c2^2*c4);

Получим: $2 c_2 (8 c_0^2 c_1^2+12 c_0 c_1 c_2 c_4+c_0 c_4^3+4 c_1 c_2^3+c_2^2 c_4^2)/(5 c_0 c_1)$.

Это выражение равно нулю, в силу (50).

Проверено.

[Феликс Шмидель]

Из (73) следует:

(74)
$-y z=-1/4 d_4 c_2 c_4^2 ((b_1-1) (b_2-1)+2 (b_2-1)+16)$
$x^2=-1/4 d_2 c_4 c_2^2 ((b_1-1) (b_2-1)+2 (b_1-1)+16)$

или

(75)
$-y z=-1/4 d_4 c_2 c_4^2 ((b_1+1) (b_2-1)+16)$
$x^2=-1/4 d_2 c_4 c_2^2 ((b_1-1) (b_2+1)+16)$

Это проверяется следующим кодом:

b1:=(c2^2+2*c0*c4)/c2^2;
b2:=(c4^2+8*c1*c2)/c4^2;
(b1+1)*(b2-1)+16;
(b1-1)*(b2+1)+16;

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Из (75) следует:

(76) $4^{15} (x y z)^{10}=-d_4^{10} d_2^5 c_2^{20} c_4^{25} ((b_1+1) (b_2-1)+16)^{10} ((b_1-1) (b_2+1)+16)^5$

Выразим теперь $d_4^{10}$ и $d_2^5$ через $c_0, c_1, c_2, c_4$ из первого и второго равенства (2.3):

(77)
$6400 d_4^{10}=(c_2^2 (b_1+1)/(2 c_1))^2$
$5 d_2^5=-c_4^2 (b_2+1)/(2 c_0)$

Из (77) следует:

(78) $256000 d_2^5 d_4^{10}=-c_2^4 c_4^2 (b_1+1)^2 (b_2+1)/(c_0 c_1^2)$.

Имеем:

(79)
$c_0=(b_1-1) c_2^2/(2 c_4)$
$c_1=(b_2-1) c_4^2/(8 c_2)$

Из (79) следует:

(80) $c_0 c_1^2=(b_1-1) (b_2-1)^2 c_4^3/128$

Из (78) и (80) следует:

(81) $2000 d_2^5 d_4^{10}=-c_2^4 (b_1+1)^2 (b_2+1)/(c_4 (b_1-1) (b_2-1)^2)$

Из (76) и (81) следует:

(82) $2000 \cdot 4^{15} (x y z)^{10}=c_2^{24} c_4^{24} ((b_1+1) (b_2-1)+16)^{10} ((b_1-1) (b_2+1)+16)^5 (b_1+1)^2 (b_2+1)/((b_1-1) (b_2-1)^2)$

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Правая часть равенства (82) определяется числами $b_1$ и $b_2$, знаменателями которых являются соответственно $c_2^2$ и $c_4^2$.
Точки $(b_1, w_1)$ и $(b_2, w_2)$ следуют одна за другой в циклической группе точек, генерированной точкой $(1, 2)$.
Возможны два случая: 1) точка $(b_2, w_2)$ следует за $(b_1, w_1)$ и 2) точка $(b_1, w_1)$ следует за $(b_2, w_2)$.
Рассмотрим эти два случая по отдельности.

1) точка $(b_2, w_2)$ следует за $(b_1, w_1)$.

Пусть точка $(b'_1, w'_1)$ следует за $(b_2, w_2)$, и пусть $c'_2^2$ является знаменателем числа $b'_1$.
Правая часть равенства (82) равна $f_1(b_1, b_2) f_2(b_1, b_2)$, где

$f_1(b_1, b_2)=c_2^{24} c_4^{24}$,
$f_2(b_1, b_2)=((b_1+1) (b_2-1)+16)^{10} ((b_1-1) (b_2+1)+16)^5 (b_1+1)^2 (b_2+1)/((b_1-1) (b_2-1)^2)$.

Вычисления показывают, что $f_1(b'_1, b_2) f_2(b'_1, b_2)$ всегда больше чем $f_1(b_1, b_2) f_2(b_1, b_2)$.
Наша задача это доказать.
Если $b_2$ не находится вблизи $1$ c точностью, скажем, до $0.01$, то число $b_1$ ограничено по абсолютной величине некоторым конкретным числом, следовательно число $f_2(b_1, b_2)$ тоже ограничено (знаменатель этого выражения отстоит от нуля больше чем на $0.0001$, c учётом того, что $b_1<0$).
Вычисления показывают, что если $b_2$ находится вблизи от $5+2 \sqrt{5}$, то $b'_1$ находится вблизи от $-0.528$, и $(b'_1-1)(b_2+1)+16$ находится вблизи от нуля.
В дальнейшем мы собираемся доказать, что если $b_2$ не находится вблизи от $5+2 \sqrt{5}$, то $(b'_1-1)(b_2+1)+16$ и $(b'_1+1)(b_2-1)+16$ не находятся вблизи от нуля.
Значит, если $b_2$ не находится вблизи $1$ и не находится вблизи $5+2 \sqrt{5}$, c точностью, скажем, до $0.01$, то отношение $f_2(b_1, b_2)/f_2(b'_1, b_2)$ ограничено некоторым конкретным числом.
Можно показать, что отношение $f_1(b'_1, b_2)/f_1(b_1, b_2)=c'_2^{24}/c_2^{24}$, являющееся отношением знаменателей, больше этого конкретного числа (исходя из результатов вычислений и нашего обсуждения роста знаменателей).

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Если $b_2$ находится вблизи от $5+2 \sqrt{5}$, то и $b_1$ и $b'_1$ находятся вблизи от $-0.528$, числа $(b_1-1)(b_2+1)+16$ и $(b'_1-1)(b_2+1)+16$ находятся вблизи нуля, но их отношение, возможно, ограничено.
Если $b_2$ находится вблизи от $1$, то отношение

$f_1(b'_1, b_2)/f_1(b_1, b_2)=c'_2^{24}/c_2^{24}=((c'_2^2/c_4^2) (c_4^2/c_2^2))^{12}=((c'_2^2/c_4^2)^2 16/(b_2-1)^2)^{12}=(c'_2/c_4)^{24} 16^{12}/(b_2-1)^{24}$,

а отношение

$f_2(b_1, b_2)/f_2(b'_1, b_2)=(((b_1+1) (b_2-1)+16)^{10} ((b_1-1) (b_2+1)+16)^5 (b_1+1)^2/(b_1-1))/(((b'_1+1) (b_2-1)+16)^{10} ((b'_1-1) (b_2+1)+16)^5 (b'_1+1)^2/(b'_1-1))$

ограничено числом порядка $1/(b_2-1)^{22}$, поскольку $(b_1+1) (b_2-1)$ ограничено числом порядка $1/(b_2-1)$, $(b_1-1) (b_2+1)$ ограничено числом порядка $1/(b_2-1)^2$, и $(b_1+1)^2/(b_1-1)$ ограничено числом порядка $1/(b_2-1)^2$, поскольку число $b_1$ ограничено числом порядка $1/(b_2-1)^2$.

Я думаю, что неравенство $f_1(b'_1, b_2) f_2(b'_1, b_2)>f_1(b_1, b_2) f_2(b_1, b_2)$ можно таким образом строго доказать.
Как мы уже отмечали, из этого неравенства следует ВТФ для $n=5$.

[Феликс Шмидель]

Теперь у нас есть новая тема (тема 5), в которой мы будем писать леммы начисто, но искать их мы будем здесь.
Наша первая задача: доказать следующую лемму:

Обозначим $g=\sqrt[5]{2}$.
Пусть $x$ и $v$ - целые взаимно-простые числа, $x$ - нечётное число и $xv$ делится на 5.
Пусть $x^{10}-4 v^5=a^2$, где $a$ - ненулевое целое число.

Тогда

$x^2-g^2 v=u \beta^2$,

где $u$ - некоторый делитель единицы в кольце $\mathbb{Z}[g]$, а $\beta$ - некоторое число этого кольца.

Для этого нам нужно найти разложение чисел $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$ на простые множители в кольце $\mathbb{Z}[g]$.
После этого мы сможем применить наш метод, который мы использовали при доказательстве ВТФ для $n=3$.
Мы, конечно, могли бы вместо этого просто сослаться на прoграмму "gp/Pari", которая выдаёт, что количество классов поля $\mathbb{Q}[g]$ равно $1$, но это не доказательство.
Однако, можно использовать "gp/Pari" для разложения вышеуказанных простых чисел на простые множители в кольце $\mathbb{Z}[g]$.

A=bnfinit(x^5-2);
P=idealprimedec(A, 3);
pr=P[1];
pr.gen
pr.f
pr.e

Получим множитель $1+g$, норма которого равна $3$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Удобнее делать это в программе "Sage":

K.<a>=NumberField(x^5-2);K
I=K.ideal(7);
F=I.factor();F
J=K.ideal(a^2+a+1);
J.norm()

Получим число $g^2+g+1$, норма которого равна $7$.
Таким же способом найдём число $-g^2-1$, норма которого равна $5$,
число $-g^4+g^3+1$, норма которого равна $13$.
Что касается числа $11$, то оно, по-видимому, простое не только в кольце целых чисел, но и в кольце $\mathbb{Z}[g]$.
Однако, это нужно будет доказать.
В этом случае, в кольце $\mathbb{Z}[g]$ не существует числа с нормой $11^2$.

[Феликс Шмидель]

Чтобы показать, что в кольце $\mathbb{Z}[g]$ не существует числа с нормой $11^2$, можно воспользоваться малой теоремой Ферма для идеалов.
Предположим такое число существует, и пусть $\rho$ - простой идеал, делящий это число. Тогда норма этого числа, равная $11^2$, делится на норму $\rho$, следовательно норма $\rho$ равна либо $11$, либо $11^2$.
Следовательно, либо $g^{10}-1=3$ делится на $\rho$, либо $g^{120}-1=4^{12}-1$ делится на $\rho$, в силу малой теоремы Ферма для идеалов.
Но это невозможно, поскольку ни $3$, ни $4^{12}-1$ не делится на $11$.

[Феликс Шмидель]

Исправим ошибку: норма числа $-g^2-1$ равна не $5$, а $-5$, хотя норма идеала, генерируемого этим числом равна $5$. Я вообще не понимаю откуда взялось это число: "Sage" выдаёт $g^2+1$.
Теперь мы можем не использовать "Sage" для обнаружения простых делителей-идеалов простого числа $p$.
Вместо этого мы можем использовать лемму 2.2 из "темы 5" и искать делители числа $g^{p-1}-1$, норма которых равна $p$.
Для $p=13$ получим $g^4-g^2+1=(g^6+1)/(g^2+1)$.
Норма этого числа равна $(2^6+1)/(2^2+1)=13$.
Мне не сразу удалось доказать что $-g^4+g^3+1$ и $g^4-g^2+1$ делятся друг на друга ("Sage" выдал первое число)
Находим один простой делитель числа $p$, произведение сопряжённых с ним даст второй простой делитель.
Чтобы доказать простоту этого второго делителя, норма которого равна $p^4$ можно использовать лемму 2.3 из "темы 5".
Наша цель доказать, что все простые делители-идеалы чисел $2, 3, 5, 7, 11, 13$ - главные.
Теперь идём в "тему 5" и докажем соответсвующую лемму.

[Феликс Шмидель]

В этой теме, мы начали с равенств

(2)
$2 a_0 a_4+2 a_1 a_3+a_2^2=0$
$a_0 a_3+a_1 a_2+a_4^2=0$
$a_0 a_1+2 a_2 a_4+a_3^2=0$

Затем перешли от этих равенств к равенствам:

(2.3)
$c_0 c_4+80 c_1 d_4^5+c_2^2=0$
$5 c_0 d_2^5+4 c_1 c_2+c_4^2=0$
$c_0 c_1+c_2 c_4+50 d_2^5 d_4^5=0$

Потом мы определили числа $b_1$ и $b_2$ которые оказались первой координатой точек на эллиптической кривой $y^2=x (-x^2+10 x-5)$.
Оказалось, что числа $b_1$ и $b_2$ однозначно определяют числа $c_0, c_1, c_2, c_4$, входящие в равенства (2.3).
Затем мы выразили число $(x y z)^2$ через $b_1$ и $b_2$ и оказалоcь, что это число растёт при переходе от предыдущей точки эллиптической кривой к следующей.
Из этого роста следует ВТФ для $n=5$, поскольку, меняя $x$ и $y$ местами, получим разные точки
на эллиптической кривой, а число $(x y z)^2$ от перемены мест сомножителей не меняется.

Было бы несколько проще определить числа $b_1$ и $b_2$ из равенств (2) не переходя к равенствам (2.3).
Возможно, потом нам всё равно пришлось бы перейти от чисел $a_0, a_1, a_2, a_4$ к $c_0, c_1, c_2, c_4$ поскольку числа $c_2^2$ и $c_4^2$, а не $a_2^2$ и $a_4^2$ являются знаменателями чисел $b_1$ и $b_2$.

Мы пойдём по этому пути, чтобы определить не проще ли он.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Из (2) следует: $(2 a_0 a_4+a_2^2)(a_1 a_2+a_4^2)=-2 a_0 a_1 (a_0 a_1+2 a_2 a_4)$

или

(50.A) $2 (a_0 a_1)^2+6 (a_0 a_1)(a_2 a_4)+(a_2 a_4)^2=-(2 a_0 a_4^3+a_1 a_2^3)$

Пусть $v_1=a_0 a_1$, $v_2=a_2 a_4$, $v_3=(2 a_0 a_4^3-a_1 a_2^3)$.

Тогда $(2 v_1^2+6 v_1 v_2+v_2^2)^2-8 v_1 v_2^3=v_3^2$

или

(51.A) $4 v_1^4+24 v_1^3 v_2+40 v_1^2 v_2^2+4 v_1 v_2^3+v_2^4=v_3^2$

Пусть $v_3=2 v_1^2+6 v_1 v_2+b_1 v_2^2$, где $b_1$ - рациональное число.

Тогда $v_3^2=4 v_1^4+24 v_1^3 v_2+(36+4 b_1) v_1^2 v_2^2+12 b_1 v_1 v_2^3+b_1^2 v_2^4$.

Из этого равенства и (51.A) следует:

(52.A) $(4 b_1-4) v_1^2 v_2^2+(12 b_1-4) v_1 v_2^3+(b_1^2-1) v_2^4=0$

Следовательно, $(6 b_1-2)^2-(4 b_1-4) (b_1^2-1)=4 b_1 (-b_1^2+10 b_1-5)$ является квадратом рационального числа.

Следовательно:

(53.A)
Пусть $v_1=a_0 a_1, v_2=a_2 a_4, v_3=(2 a_0 a_4^3-a_1 a_2^3)$.
Пусть $b_1=(v_3-2 v_1^2-6 v_1 v_2)/v_2^2$.

Тогда $b_1 (-b_1^2+10 b_1-5)$ является квадратом рационального числа.

Из (50.A) следует:

(54.A) $b_1=((a_2 a_4)^2+4 a_0 a_4^3)/(a_2 a_4)^2=(a_2^2+4 a_0 a_4)/a_2^2$.


Пусть теперь $-v_3=2 v_1^2+6 v_1 v_2+b_2 v_2^2$, где $b_2$ - рациональное число.

Тогда

(52.2.A) $(4 b_2-4) v_1^2 v_2^2+(12 b_2-4) v_1 v_2^3+(b_2^2-1) v_2^4=0$

(53.2.A)
Пусть $v_1=a_0 a_1, v_2=a_2 a_4, v_3=(2 a_0 a_4^3-a_1 a_2^3)$.
Пусть $b_2=(-v_3-2 v_1^2-6 v_1 v_2)/v_2^2$.

Тогда $b_2 (-b_2^2+10 b_2-5)$ является квадратом рационального числа.

Из (50.A) следует:

(54.2.A) $b_2=((a_2 a_4)^2+2 a_1 a_2^3)/(a_2 a_4)^2=(a_4^2+2 a_1 a_2)/a_4^2$.

Найдём связь между $b_1$ и $b_2$.
Мы определили $v_1=a_0 a_1$, $v_2=a_2 a_4$.
Следовательно, $(b_1-1) (b_2-1)=8 v_1/v_2$.
Подставим это значение $v_1/v_2$ в (52.A):

(52.A) $(4 b_1-4) v_1^2 v_2^2+(12 b_1-4) v_1 v_2^3+(b_1^2-1) v_2^4=0$

Получим: $(1/16) (b_1-1)^3 (b_2-1)^2+(1/2) (3 b_1-1) (b_1-1) (b_2-1)+(b_1^2-1)=0$.
Следовательно, $(b_1-1)^2 (b_2-1)^2+8 (3 b_1-1) (b_2-1)+16 (b_1+1)=0$, поскольку $b_1 \ne 1$.

Последнее равенство можно привести к симметричной относительно $b_1$ и $b_2$ форме:

(60.A) $(b_1-1)^2 (b_2-1)^2+8 (b_1-1) (b_2-1)+16 b_1 b_2+16=0$

Расскроем скобки.

Получим: $b_1^2 (b_2^2-2 b_2+1)+b_1 (-2 b_2^2+28 b_2-10)+(b_2^2-10 b_2+25)=0$

Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения.

Получим $16 b_2 (-b_2^2+10 b_2-5)$.
Значит:

(61.A) $b_1=(b_2^2-14 b_2+5 \pm 4 w_2)/(b_2-1)^2$, где $w_2^2=b_2 (-b_2^2+10 b_2-5)$.

В силу симметрии (60.A), получим:

(62.A) $b_2=(b_1^2-14 b_1+5 \pm 4 w_1)/(b_1-1)^2$, где $w_1^2=b_1 (-b_1^2+10 b_1-5)$.

Из (61.A) и (62.A) следует, что если что если число $b_2$ определяет точку на эллиптической кривой $b (-b^2+10 b-5)=w^2$, то число $b_1$, вычисленное по формуле (61.A) также определяет точку на этой кривой.

Точка $b_1$, вычисленная по формуле (61.A) является следующей или предыдущей точкой за $b_2$, в зависимости от знака $+$ или $-$ в этой формуле.

Мы уже это доказывали.

Продолжение следует.

-- Пн сен 15, 2014 03:20:55 --

Проверим, что значения: $b_1=(a_2^2+4 a_0 a_4)/a_2^2$ и $b_2=(a_4^2+2 a_1 a_2)/a_4^2$ совпадают с полученными ранее значениями: $b_1=(c_2^2+2 c_0 c_4)/c_2^2$ и $b_2=(c_4^2+8 c_1 c_2)/c_4^2$.

d0:=2*d4*d2;
a2:=d0*d2*c2;
a4:=d0*d4*c4;
a3:=d0*10*(d2*d4)^3;

a0:=d2^3*c0;
a1:=8*d4^3*c1;

b1:=(a2^2+4*a0*a4)/a2^2;

b2:=(a4^2+2*a1*a2)/a4^2;

Проверено.

Мы уже получили некоторое упрощение, потому что не нужно было выводить равенства (2.3), а в итоге мы получили то же самое.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Упрощения не получилось, поскольку нам всё равно нужны равенства (2.3). Отметим один недостаток в "теме 5": равенства (2.3) или по-новому ((4.11.1)-(4.11.3)) нужно было доказывать не в лемме 4.11, а при более слабых предположениях,тогда потом не нужно было бы доказывать их снова.

Мы достигли момента в "теме 5", когда уже имеется равенство:

$2000 \cdot 4^{15} (x y z)^{10}=c_2^{24} c_4^{24} ((b_1+1) (b_2-1)+16)^{10} ((b_1-1) (b_2+1)+16)^5 (b_1+1)^2 (b_2+1)/((b_1-1) (b_2-1)^2)$.

Точных оценок правой части этого равенства мы ещё не делали в этой теме.
Оценим выражения $((b_1+1) (b_2-1)+16)$ и $((b_1-1) (b_2+1)+16)$.
Каждое из этих выражений представляется двумя различными функциями от $b_2$:
$b_1=(b_2^2-14 b_2+5 \pm \sqrt{b_2 (-b_2^2+10 b_2-5)})/(b_2-1)^2$.
Одна функция получается если взять $+$ вместо $\pm$ другая - $-$.
Может помочь график зависимости от $b_2$, но график, построенный математической программой не является доказательством.
Мы дали метод оценки выражений $((b_1+1) (b_2-1)+16)$ и $((b_1-1) (b_2+1)+16)$ в окрестности точки $b_2=1$: чтобы компенсировать большое отрицательное значение числа $b_1$, первое выражение умножается на $b_2-1$, второе на $(b_2-1)^2$.
Отдельно будем оценивать эти выражения вне этой окрестности.
Определим области возрастания и убывания этих выражений.
Для этого найдём производные по $b_2$.

Продолжение следует.