2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интересная последовательность
Сообщение11.09.2014, 20:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Последовательность $u_n$ определена тремя единицами в начальных номерах и рекуррентным соотношением $u_{n+1}=2u_n+2u_{n-1}-u_{n-2}$. С некоторого номера верно также $\sqrt{u_{n+1}}\approx \sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n-1}}$: $ u_n=1,1,1,3,7,19,49,129,337,883,...$
Можно выписать выражение для $n$-го члена со знаменателем прогрессии $\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}=\left( \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\right)^2$, но проще вроде бы исходить из ряда Фибоначчи $F_n$, поскольку
${\tiny u_{n+1}=F_n^2+F_{n-1}^2-F_nF_{n-1}=F_{n-1}^2+F_{n-2}^2+F_{n-1}F_{n-2}=\frac{F_{n+1}^2+3F_{n-2}^2}{4}=\frac{F_{n-3}^2+3F_n^2}{4}=\frac{F_n^2+F_{n-1}^2+F_{n-2}^2}{2}}$ .
Ясно, что делителями такого ряда в нечетных степенях могут быть $3$ и простые вида $6k+1$, но среди первых $34$-х членов - единственное не свободное от квадратов $u_8=49$. Хотелось бы о делимости поподробней. Из опыта видно, что
$3\mid u_{4k}$
$7\mid u_{8k+5}, u_{8k+7}$
$19\mid u_{18k+6}, u_{18k+16}$
$31\mid u_{30k+13}, u_{30k+21}$
Можно предположить, что перед $k$ в индексах - $p\pm 1$ (минус - если простое оканчивается на $ 1$ или $9$), а что после $k$? Кроме того из последнего предположения следует, что что вовсе не любое простое указанного вида может быть делителем $u_n$, в противном случае среди первых тринадцати членов нашлось бы кратное $13$-ти, а его нет. Не видать также $37$ и $61$, а это, включая $13$, - суммы двух квадратов. Возникает второе предположение, которое оказывается неверным: $73\mid u_{13},\ 97\mid u_{29}$ . Что об этом известно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная последовательность
Сообщение11.09.2014, 21:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Про Фибоначчи и пизанские периоды Вы всё знаете? Ну вот здесь будет какая-то похожая шняга, только сложнее, и выводить её нужно с нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная последовательность
Сообщение11.09.2014, 21:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
A061646
Может быть в референциях что-то есть полезное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная последовательность
Сообщение11.09.2014, 21:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
ИСН в сообщении #906783 писал(а):
Про Фибоначчи и пизанские периоды Вы всё знаете?

Что-то знаю. Там если $a \mid b$, то $F_a\mid F_b$ и простой делитель может быть любой по аналогии с суммами степенных рядов. А тут?
gris в сообщении #906785 писал(а):
A061646
Может быть в референциях что-то есть полезное?

Ага, спасибо. О делимости на беглый взгляд не увидел, правда, ничего, но надо почитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная последовательность
Сообщение11.09.2014, 22:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Тут хуже. У Фибоначчи "перед" начальными двумя единицами идёт 0, а он делится на всё; отсюда многое следует. Тут не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная последовательность
Сообщение11.09.2014, 22:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Да, симметрия относительно $n=2$. Странно, мне казалось что для подобной "фильтрации" должны быть веские причины, а тут получаются какие-то "запретные" числа. Хотя, если есть еще какое-то выражение для общего члена типа $\frac{px^2-qy^2}{d}$ (почему нет?), все встает на место.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group