Интересная последовательность

[Andrey A]

Последовательность $u_n$ определена тремя единицами в начальных номерах и рекуррентным соотношением $u_{n+1}=2u_n+2u_{n-1}-u_{n-2}$. С некоторого номера верно также $\sqrt{u_{n+1}}\approx \sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n-1}}$: $ u_n=1,1,1,3,7,19,49,129,337,883,...$
Можно выписать выражение для $n$-го члена со знаменателем прогрессии $\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}=\left( \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\right)^2$, но проще вроде бы исходить из ряда Фибоначчи $F_n$, поскольку
${\tiny u_{n+1}=F_n^2+F_{n-1}^2-F_nF_{n-1}=F_{n-1}^2+F_{n-2}^2+F_{n-1}F_{n-2}=\frac{F_{n+1}^2+3F_{n-2}^2}{4}=\frac{F_{n-3}^2+3F_n^2}{4}=\frac{F_n^2+F_{n-1}^2+F_{n-2}^2}{2}}$ .
Ясно, что делителями такого ряда в нечетных степенях могут быть $3$ и простые вида $6k+1$, но среди первых $34$-х членов - единственное не свободное от квадратов $u_8=49$. Хотелось бы о делимости поподробней. Из опыта видно, что
$3\mid u_{4k}$
$7\mid u_{8k+5}, u_{8k+7}$
$19\mid u_{18k+6}, u_{18k+16}$
$31\mid u_{30k+13}, u_{30k+21}$
Можно предположить, что перед $k$ в индексах - $p\pm 1$ (минус - если простое оканчивается на $ 1$ или $9$), а что после $k$? Кроме того из последнего предположения следует, что что вовсе не любое простое указанного вида может быть делителем $u_n$, в противном случае среди первых тринадцати членов нашлось бы кратное $13$-ти, а его нет. Не видать также $37$ и $61$, а это, включая $13$, - суммы двух квадратов. Возникает второе предположение, которое оказывается неверным: $73\mid u_{13},\ 97\mid u_{29}$ . Что об этом известно?

[ИСН]

Про Фибоначчи и пизанские периоды Вы всё знаете? Ну вот здесь будет какая-то похожая шняга, только сложнее, и выводить её нужно с нуля.

[gris]

A061646
Может быть в референциях что-то есть полезное?

[Andrey A]

ИСН в сообщении #906783 писал(а):

Про Фибоначчи и пизанские периоды Вы всё знаете?

Что-то знаю. Там если $a \mid b$, то $F_a\mid F_b$ и простой делитель может быть любой по аналогии с суммами степенных рядов. А тут?

gris в сообщении #906785 писал(а):

A061646
Может быть в референциях что-то есть полезное?

Ага, спасибо. О делимости на беглый взгляд не увидел, правда, ничего, но надо почитать.

[ИСН]

Тут хуже. У Фибоначчи "перед" начальными двумя единицами идёт 0, а он делится на всё; отсюда многое следует. Тут не так.

[Andrey A]

Да, симметрия относительно $n=2$. Странно, мне казалось что для подобной "фильтрации" должны быть веские причины, а тут получаются какие-то "запретные" числа. Хотя, если есть еще какое-то выражение для общего члена типа $\frac{px^2-qy^2}{d}$ (почему нет?), все встает на место.