Задача Коши

[tetricka12]

$u_t_t =u_x_x + e^x $
$u|_{t=0} =\sin x $
$u_t|_{t=0} =x +\cos x $

Если решать по формуле Даламбера, то все хорошо , но хотелось бы узнать , как решать такую задачу методом разделения переменных

[Oleg Zubelevich]

краевые условия?

-- Вт сен 09, 2014 12:26:16 --

фраза "метод разделения переменных" неадекватна, она лишь сбивает с толку. метод называется разложением по собственным функциям

[tetricka12]

Эта задача из учебника Владимирова . Страница 140 . пункт 12.36 задача 4. Там краевых условий нет , только начальные

[Red_Herring]

Там сказано "иногда удобнее". Не для 4), кстати, не грех бы указать издание.

[tetricka12]

а можете назвать № примера , где удобнее как раз воспользоваться методом разделения переменных? и рассказать как примерно это делается? Хочу понять на примере

[Red_Herring]

tetricka12 в сообщении #905852 писал(а):

а можете назвать № примера , где удобнее как раз воспользоваться методом разделения переменных? и рассказать как примерно это делается? Хочу понять на примере

А Ваш второй пример про уравнение теплопроводности (см мой ответ)

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #905818 писал(а):

фраза "метод разделения переменных" неадекватна, она лишь сбивает с толку. метод называется разложением по собственным функциям

В физике название "разделение переменных" сильно привязалось к нему. И потом, часто переменные разделяют ещё до того, как собственные функции изучают и находят. Часто опираясь только на симметрии системы.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #905867 писал(а):

асто опираясь только на симметрии системы.

это из другой оперы

[Munin]

Всё это мешают в кучу и называют "методом разделения переменных". Ну чё поделать, такова практика.

Пример: ЛЛ-3, решение уравнения Шрёдингера для атома.

[Red_Herring]

Разделение переменных, как показывает другой пример tetricka12, необязательно ведет к собственным функциям, по-крайней мере в нормальном смысле. Или такой, например, пример:

$$ u_{t}=u_{xx}+ e^{x}\sin(t),\\ u|_{t=0}=e^{x}. $$

Из разделения переменных для соответствующего однородного уравнения становится ясно, что решение следует искать в виде $u=T(t)e^{x}$.

Кроме того, разделение переменных дает понять, по с.ф. чего следует разлагать. Не вполне стандартный пример:

\begin{align} &u_{tt}-u_{xx}=0, \qquad 0<x<1,\\ &(u_t-iu_x)|_{x=0}=0,\qquad u|_{x=1}=0,\\ &u|_{t=0}=f(x),\qquad u_t|_{t=0}=g(x). \end{align}

Разумеется, метод разложения по собственным функциям—наука, а так—это трюк, но все же…

[Oleg Zubelevich]

в последнем примере должно работать преобразование Лапласа по $t$

-- Вт сен 09, 2014 15:47:28 --

условие (3) немного странное, я его читал так $u\mid_{t=0}=f(x)$

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #905898 писал(а):

в последнем примере должно работать преобразование Лапласа по $t$

Можно так, а можно с нестандартной (но переписываемой в стандартном виде, в подходящем Гильбертовом пр-ве задаче на с.з.

\begin{align} &X''=-\omega^2 X, \qquad 0<x<1,\\ &(X'-\omega X)(0)=0,\qquad X(1)=0. \end{align}

-- 09.09.2014, 08:52 --

Oleg Zubelevich в сообщении #905898 писал(а):

условие (3) немного странное, я его читал так $u\mid_{t=0}=f(x)$

Спасибо, исправил