2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача Коши
Сообщение09.09.2014, 12:19 
$u_t_t =u_x_x + e^x $
$u|_{t=0} =\sin x    $
$u_t|_{t=0} =x +\cos x    $

Если решать по формуле Даламбера, то все хорошо , но хотелось бы узнать , как решать такую задачу методом разделения переменных

 
 
 
 Re: Задача Коши
Сообщение09.09.2014, 12:24 
краевые условия?

-- Вт сен 09, 2014 12:26:16 --

фраза "метод разделения переменных" неадекватна, она лишь сбивает с толку. метод называется разложением по собственным функциям

 
 
 
 Re: Задача Коши
Сообщение09.09.2014, 12:31 
Эта задача из учебника Владимирова . Страница 140 . пункт 12.36 задача 4. Там краевых условий нет , только начальные

 
 
 
 Re: Задача Коши
Сообщение09.09.2014, 14:00 
Аватара пользователя
Там сказано "иногда удобнее". Не для 4), кстати, не грех бы указать издание.

 
 
 
 Re: Задача Коши
Сообщение09.09.2014, 14:16 
а можете назвать № примера , где удобнее как раз воспользоваться методом разделения переменных? и рассказать как примерно это делается? Хочу понять на примере

 
 
 
 Re: Задача Коши
Сообщение09.09.2014, 14:39 
Аватара пользователя
tetricka12 в сообщении #905852 писал(а):
а можете назвать № примера , где удобнее как раз воспользоваться методом разделения переменных? и рассказать как примерно это делается? Хочу понять на примере


А Ваш второй пример про уравнение теплопроводности (см мой ответ)

 
 
 
 Re: Задача Коши
Сообщение09.09.2014, 14:44 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #905818 писал(а):
фраза "метод разделения переменных" неадекватна, она лишь сбивает с толку. метод называется разложением по собственным функциям

В физике название "разделение переменных" сильно привязалось к нему. И потом, часто переменные разделяют ещё до того, как собственные функции изучают и находят. Часто опираясь только на симметрии системы.

 
 
 
 Re: Задача Коши
Сообщение09.09.2014, 14:47 
Munin в сообщении #905867 писал(а):
асто опираясь только на симметрии системы.

это из другой оперы

 
 
 
 Re: Задача Коши
Сообщение09.09.2014, 15:02 
Аватара пользователя
Всё это мешают в кучу и называют "методом разделения переменных". Ну чё поделать, такова практика.

Пример: ЛЛ-3, решение уравнения Шрёдингера для атома.

 
 
 
 Re: Задача Коши
Сообщение09.09.2014, 15:05 
Аватара пользователя
Разделение переменных, как показывает другой пример tetricka12, необязательно ведет к собственным функциям, по-крайней мере в нормальном смысле. Или такой, например, пример:
$$
u_{t}=u_{xx}+ e^{x}\sin(t),\\
u|_{t=0}=e^{x}.
$$
Из разделения переменных для соответствующего однородного уравнения становится ясно, что решение следует искать в виде $u=T(t)e^{x}$.

Кроме того, разделение переменных дает понять, по с.ф. чего следует разлагать. Не вполне стандартный пример:

\begin{align}
&u_{tt}-u_{xx}=0, \qquad 0<x<1,\\
&(u_t-iu_x)|_{x=0}=0,\qquad u|_{x=1}=0,\\
&u|_{t=0}=f(x),\qquad u_t|_{t=0}=g(x).
\end{align}



Разумеется, метод разложения по собственным функциям—наука, а так—это трюк, но все же…

 
 
 
 Re: Задача Коши
Сообщение09.09.2014, 15:45 
в последнем примере должно работать преобразование Лапласа по $t$

-- Вт сен 09, 2014 15:47:28 --

условие (3) немного странное, я его читал так $u\mid_{t=0}=f(x)$

 
 
 
 Re: Задача Коши
Сообщение09.09.2014, 15:50 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #905898 писал(а):
в последнем примере должно работать преобразование Лапласа по $t$

Можно так, а можно с нестандартной (но переписываемой в стандартном виде, в подходящем Гильбертовом пр-ве задаче на с.з.
\begin{align}
&X''=-\omega^2 X, \qquad 0<x<1,\\
&(X'-\omega X)(0)=0,\qquad X(1)=0.
\end{align}


-- 09.09.2014, 08:52 --

Oleg Zubelevich в сообщении #905898 писал(а):
условие (3) немного странное, я его читал так $u\mid_{t=0}=f(x)$

Спасибо, исправил

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group