Разделение переменных, как показывает другой пример
tetricka12, необязательно ведет к собственным функциям, по-крайней мере в нормальном смысле. Или такой, например, пример:

Из разделения переменных для соответствующего однородного уравнения становится ясно, что решение следует искать в виде

.
Кроме того, разделение переменных дает понять, по с.ф. чего следует разлагать. Не вполне стандартный пример:
Разумеется, метод разложения по собственным функциям—наука, а так—это трюк, но все же…