Произведение тензоров

[q271828]

arseniiv в сообщении #905220 писал(а):

По каким всем тензорам? У вас всего два тензора — $a$ и $b$. Если размерность векторного пространства равна $n$, каждый индекс в наборе координат тензора пробегает $n$ значений, и в вашем случае в сумме $n^2$ элементов.

-- Пн сен 08, 2014 00:23:48 --

Например, $n=2$. Тогда координат $a_{ij}$ четыре: $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}$, а

$$a_{ij}b^{ij} = a_{11}b^{11}+a_{12}b^{12}+a_{21}b^{21}+ a_{22}b^{22}.$$

-- Пн сен 08, 2014 00:25:17 --

И вообще в вашей задаче разве нужно до этого спускаться?

Я хотел посчитать произвольный элемент тензора с фиксированными значениями, но теперь вижу, что это лишним будет. Спасибо.

[Утундрий]

q271828
Есть такое правило суммирования, когда по любой паре дважды встречающихся индексов проводится суммирование по всему экстенту. Правило определено строго внутри монома. Иногда его уточняют - индексы должы быть "один вверху, другой внизу".

[ewert]

Утундрий в сообщении #905258 писал(а):

Иногда его уточняют - индексы должы быть "один вверху, другой внизу".

Не иногда. Далеко не.

[Утундрий]

ewert
Если лень, то можно все внизу писать...

[ewert]

Утундрий в сообщении #905277 писал(а):

Если лень, то можно все внизу писать...

Низзя -- у них разный статус.

Лень дозволительна лишь тогда, когда она безобидна. В смысле ни с чем непосредственно соседствующем не конфликтует.

[Утундрий]

Если очень хочется, но нельзя... Достаточно помнить, что сворачиваем метрикой

[ewert]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #905288 писал(а):

Достаточно помнить, что сворачиваем метрикой

Из Бологого в Вышний Волочёк через Владивосток -- недостаточно.

[Munin]

q271828 в сообщении #905228 писал(а):

Я хотел посчитать произвольный элемент тензора с фиксированными значениями

У тензора $a_{ij}b^{ij}$ только один компонент. Угадайте, какие у него индексы.

ewert в сообщении #905282 писал(а):

Низзя -- у них разный статус.

Можно, если оговорено, что пространство снабжено стандартным скалярным произведением.

[мат-ламер]

q271828 в сообщении #904704 писал(а):

Вот задача у меня - доказать, что произведение симметричного тензора $a_i_j$ и кососимметричного $b^i^j $ будет давать тождественно равный 0 тензор $ a_i_jb^i^j$

q271828. Вы условие правильно переписали?

-- Пн сен 08, 2014 21:49:07 --

ИМХО, произведение будет тензор $a_i_jb^k^l$ не равный нулю в общем случае.

[Oleg Zubelevich]

q271828 в сообщении #904704 писал(а):

от задача у меня - доказать, что произведение симметричного тензора $a_i_j$ и кососимметричного $b^i^j $ будет давать тождественно равный 0 тензор $ a_i_jb^i^j$

$a_{ij}b^{ij}=\sum_{i\le j}a_{ij}(b^{ij}+b^{ji})$

-- Пн сен 08, 2014 21:11:06 --

а иначе оно не кончится

[ewert]

мат-ламер в сообщении #905653 писал(а):

ИМХО, произведение будет тензор $a_i_jb^k^l$

К чему формальные придирки -- ТС ведь затрудняется по существу.

[мат-ламер]

Munin в сообщении #905655 писал(а):

В общем - не равный. Здесь - не общий.

мат-ламер, выполните это упражнение тоже, самостоятельно. Вам будет полезно. Правда, оно элементарное.

Как его решить, если я непонял не только условие, но и ни один пост обсуждения? Может я не так понимаю произведение тензоров? Если у первого тензора $m^2$ компонент, а у второго тензора $n^2$ компонент, то у произведения будет $m^2n^2$ компонент. И что, они все будут равны нулю? Если этот тензор свернуть полностью, т.е. найти сумму всех его координат, то нуль получится. Может это имелось в виду?
Пост на который ссылался тоже исчез. Я уже совсем ничего не понимаю.

[Munin]

По существу $a_{ij}b^{ij}=a_{ji}b^{ij}=-a_{ij}b^{ji}.$
(Наверное, ewert был прав, говоря про "переобозначить".)

-- 08.09.2014 22:37:19 --

мат-ламер в сообщении #905670 писал(а):

Может я не так понимаю произведение тензоров?

Есть тензорное произведение, оно также часто называется внешним (не путать с внешним произведением внешних форм). Есть тензорное произведение, после которого сделана свёртка, оно также называется внутренним произведением.

мат-ламер в сообщении #905670 писал(а):

Если у первого тензора $m^2$ компонент, а у второго тензора $n^2$ компонент

Такого быть не может, размерности все одинаковые. Так что, у обоих тензоров $n^2$ компонент, а у внешнего произведения $n^4.$ Последовательные свёртки дают $n^2$ и $n^0$ компонент.

-- 08.09.2014 22:38:39 --

мат-ламер в сообщении #905670 писал(а):

Если этот тензор свернуть полностью, т.е. найти сумму всех его координат, то нуль получится. Может это имелось в виду?

Когда пишут выражение с двумя совпадающими индексами, то как раз и имеют в виду свёртку по этим индексам.

мат-ламер в сообщении #905670 писал(а):

Пост на который ссылался тоже исчез. Я уже совсем ничего не понимаю.

Вы отредактировали свой пост - я отредактировал свой.

[мат-ламер]

Munin в сообщении #905671 писал(а):

Есть тензорное произведение, после которого сделана свёртка, оно также называется внутренним произведением.

Так надо было найти вот это произведение? Тогда всё понятно. Значит я тут понимал произведение двух тензоров по-своему.

[ewert]

Munin в сообщении #905671 писал(а):

По существу $a_{ij}b^{ij}=a_{ji}b^{ij}=-a_{ij}b^{ji}.$

Отсюда пока что ничего ещё не следует -- Вы в последнем переходе малость перестарались с перестановками.