2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Произведение тензоров
Сообщение07.09.2014, 21:32 
arseniiv в сообщении #905220 писал(а):
По каким всем тензорам? У вас всего два тензора — $a$ и $b$. Если размерность векторного пространства равна $n$, каждый индекс в наборе координат тензора пробегает $n$ значений, и в вашем случае в сумме $n^2$ элементов.

-- Пн сен 08, 2014 00:23:48 --

Например, $n=2$. Тогда координат $a_{ij}$ четыре: $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}$, а$$a_{ij}b^{ij} = a_{11}b^{11}+a_{12}b^{12}+a_{21}b^{21}+ a_{22}b^{22}.$$

-- Пн сен 08, 2014 00:25:17 --

И вообще в вашей задаче разве нужно до этого спускаться?


Я хотел посчитать произвольный элемент тензора с фиксированными значениями, но теперь вижу, что это лишним будет. Спасибо.

 
 
 
 Re: Произведение тензоров
Сообщение07.09.2014, 22:27 
Аватара пользователя
q271828
Есть такое правило суммирования, когда по любой паре дважды встречающихся индексов проводится суммирование по всему экстенту. Правило определено строго внутри монома. Иногда его уточняют - индексы должы быть "один вверху, другой внизу".

 
 
 
 Re: Произведение тензоров
Сообщение07.09.2014, 22:48 
Утундрий в сообщении #905258 писал(а):
Иногда его уточняют - индексы должы быть "один вверху, другой внизу".

Не иногда. Далеко не.

 
 
 
 Re: Произведение тензоров
Сообщение07.09.2014, 22:50 
Аватара пользователя
ewert
Если лень, то можно все внизу писать...

 
 
 
 Re: Произведение тензоров
Сообщение07.09.2014, 23:00 
Утундрий в сообщении #905277 писал(а):
Если лень, то можно все внизу писать...

Низзя -- у них разный статус.

Лень дозволительна лишь тогда, когда она безобидна. В смысле ни с чем непосредственно соседствующем не конфликтует.

 
 
 
 Re: Произведение тензоров
Сообщение07.09.2014, 23:05 
Аватара пользователя
Если очень хочется, но нельзя... Достаточно помнить, что сворачиваем метрикой :mrgreen:

 
 
 
 Re: Произведение тензоров
Сообщение07.09.2014, 23:12 

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #905288 писал(а):
Достаточно помнить, что сворачиваем метрикой :mrgreen:

Из Бологого в Вышний Волочёк через Владивосток -- недостаточно.

 
 
 
 Re: Произведение тензоров
Сообщение08.09.2014, 02:02 
Аватара пользователя
q271828 в сообщении #905228 писал(а):
Я хотел посчитать произвольный элемент тензора с фиксированными значениями

У тензора $a_{ij}b^{ij}$ только один компонент. Угадайте, какие у него индексы.

ewert в сообщении #905282 писал(а):
Низзя -- у них разный статус.

Можно, если оговорено, что пространство снабжено стандартным скалярным произведением.

 
 
 
 Re: Произведение тензоров
Сообщение08.09.2014, 20:46 
Аватара пользователя
q271828 в сообщении #904704 писал(а):
Вот задача у меня - доказать, что произведение симметричного тензора $a_i_j$ и кососимметричного $b^i^j $ будет давать тождественно равный 0 тензор $ a_i_jb^i^j$

q271828. Вы условие правильно переписали?

-- Пн сен 08, 2014 21:49:07 --

ИМХО, произведение будет тензор $a_i_jb^k^l$ не равный нулю в общем случае.

 
 
 
 Re: Произведение тензоров
Сообщение08.09.2014, 21:10 
q271828 в сообщении #904704 писал(а):
от задача у меня - доказать, что произведение симметричного тензора $a_i_j$ и кососимметричного $b^i^j $ будет давать тождественно равный 0 тензор $ a_i_jb^i^j$

$a_{ij}b^{ij}=\sum_{i\le j}a_{ij}(b^{ij}+b^{ji})$

-- Пн сен 08, 2014 21:11:06 --

а иначе оно не кончится

 
 
 
 Re: Произведение тензоров
Сообщение08.09.2014, 21:15 
мат-ламер в сообщении #905653 писал(а):
ИМХО, произведение будет тензор $a_i_jb^k^l$

К чему формальные придирки -- ТС ведь затрудняется по существу.

 
 
 
 Re: Произведение тензоров
Сообщение08.09.2014, 21:32 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #905655 писал(а):
В общем - не равный. Здесь - не общий.

мат-ламер, выполните это упражнение тоже, самостоятельно. Вам будет полезно. Правда, оно элементарное.

Как его решить, если я непонял не только условие, но и ни один пост обсуждения? Может я не так понимаю произведение тензоров? Если у первого тензора $m^2$ компонент, а у второго тензора $n^2$ компонент, то у произведения будет $m^2n^2$ компонент. И что, они все будут равны нулю? Если этот тензор свернуть полностью, т.е. найти сумму всех его координат, то нуль получится. Может это имелось в виду?
Пост на который ссылался тоже исчез. Я уже совсем ничего не понимаю.

 
 
 
 Re: Произведение тензоров
Сообщение08.09.2014, 21:34 
Аватара пользователя
По существу $a_{ij}b^{ij}=a_{ji}b^{ij}=-a_{ij}b^{ji}.$
(Наверное, ewert был прав, говоря про "переобозначить".)

-- 08.09.2014 22:37:19 --

мат-ламер в сообщении #905670 писал(а):
Может я не так понимаю произведение тензоров?

Есть тензорное произведение, оно также часто называется внешним (не путать с внешним произведением внешних форм). Есть тензорное произведение, после которого сделана свёртка, оно также называется внутренним произведением.

мат-ламер в сообщении #905670 писал(а):
Если у первого тензора $m^2$ компонент, а у второго тензора $n^2$ компонент

Такого быть не может, размерности все одинаковые. Так что, у обоих тензоров $n^2$ компонент, а у внешнего произведения $n^4.$ Последовательные свёртки дают $n^2$ и $n^0$ компонент.

-- 08.09.2014 22:38:39 --

мат-ламер в сообщении #905670 писал(а):
Если этот тензор свернуть полностью, т.е. найти сумму всех его координат, то нуль получится. Может это имелось в виду?

Когда пишут выражение с двумя совпадающими индексами, то как раз и имеют в виду свёртку по этим индексам.

мат-ламер в сообщении #905670 писал(а):
Пост на который ссылался тоже исчез. Я уже совсем ничего не понимаю.

Вы отредактировали свой пост - я отредактировал свой.

 
 
 
 Re: Произведение тензоров
Сообщение08.09.2014, 21:52 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #905671 писал(а):
Есть тензорное произведение, после которого сделана свёртка, оно также называется внутренним произведением.

Так надо было найти вот это произведение? Тогда всё понятно. Значит я тут понимал произведение двух тензоров по-своему.

 
 
 
 Re: Произведение тензоров
Сообщение08.09.2014, 22:09 
Munin в сообщении #905671 писал(а):
По существу $a_{ij}b^{ij}=a_{ji}b^{ij}=-a_{ij}b^{ji}.$

Отсюда пока что ничего ещё не следует -- Вы в последнем переходе малость перестарались с перестановками.

 
 
 [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group