Произведение тензоров

[q271828]

Вот задача у меня - доказать, что произведение симметричного тензора $a_i_j$ и кососимметричного $b^i^j $ будет давать тождественно равный 0 тензор $ a_i_jb^i^j$. В качестве примера я взял соответственно симметричную и кососимметричную матрицы, ведь тензоры порядка 2 это линейные операторы. Но ведь получается, что не всегда тождественно равно 0 их произведение. Что я напутал?

[Red_Herring]

Вы не учли Эйнштейновских обозначений (суммирование по индексам). Для матриц это было бы $\operatorname{tr}(AB)$ и это равно $0$.

[мат-ламер]

Предлагаю рассмотреть пример размерности два на два.

[ewert]

q271828 в сообщении #904704 писал(а):

симметричного тензора $a_i_j$ и кососимметричного $b^i^j $ будет давать тождественно равный 0 тензор $ a_i_jb^i^j$. В качестве примера я взял соответственно симметричную и кососимметричную матрицы, ведь тензоры порядка 2 это линейные операторы.

Начало противоречит концу: у оператора тензор -- один раз ковариантный, другой же раз -- наоборот.

-- Сб сен 06, 2014 22:45:39 --

мат-ламер в сообщении #904722 писал(а):

Предлагаю рассмотреть пример размерности два на два.

Это излишне и даже вредно: гораздо очевиднее тупо переобозначить индексы суммирования.

-- Сб сен 06, 2014 23:04:08 --

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #904715 писал(а):

Для матриц это было бы $\operatorname{tr}(AB)$

Да, кстати -- не было бы (хотя в контексте задачки к этому и свелось бы)

[Munin]

ewert в сообщении #904724 писал(а):

Это излишне и даже вредно: гораздо очевиднее тупо переобозначить индексы суммирования.

Не переобозначить, а применить определения симметрического и кососимметрического тензоров.

ewert в сообщении #904724 писал(а):

у оператора тензор -- один раз ковариантный, другой же раз -- наоборот.

А map $V\to V^*$ оператором не считается?

[ewert]

Munin в сообщении #904778 писал(а):

Не переобозначить, а применить определения

Не переобозначить а применить, а переобозначить и применить.

Munin в сообщении #904778 писал(а):

А map $V\to V^*$ оператором не считается?

$a map$ оператором точно не считается -- разве что $a map$'ом. А вот что матрица оператора есть именно такого типа тензор -- то есть медицинский факт. Просто по определению матрицы оператора.

[Munin]

ewert в сообщении #904789 писал(а):

Не переобозначить а применить, а переобозначить и применить.

Нет. Ровно ничего не переобозначать. За незачем.

ewert в сообщении #904789 писал(а):

Просто по определению матрицы оператора.

Определение оператора в студию.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #904778 писал(а):

map $V\to V^*$ оператором не считается?

считается.
добавлю: тензор $a_i^j$ совершенно спокойно может рассматриваться как билинейная форма $a:V\times V^*\to\mathbb{R}$

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #904807 писал(а):

считается.

Thanks a lot.

[ewert]

Munin в сообщении #904799 писал(а):

Определение оператора в студию.

Пожалуйста: оператором называется отображение. Или, что то же, функция. Или, что то же, преобразование. Но никак не матрица, коя есть (если есть) не более чем его описание.

(Оффтоп)

Нехорошо пудрить мозги смешением предмета с его описанием. Конечно, мы это уже проходили: "мы говорим Ленин -- подразумевая партия; мы говорим партия -- подразумевая Ленин; мы всегда..." Мы все это проходили. Только одни проходили мимо, добродушно усмехаясь и отдавая должное поэтическим талантам как сугубо поэтическим; другим же это зачем-то вошло в плоть и в кровь.

[Munin]

ewert в сообщении #904819 писал(а):

Пожалуйста: оператором называется отображение. Или, что то же, функция. Или, что то же, преобразование. Но никак не матрица

Во-первых, про матрицу я и не спрашивал.
Во-вторых, если вы вспомните определение матрицы, то заметите, что это тоже функция :-) (или может быть естественно функции сопоставлена)

(Оффтоп)

ewert в сообщении #904819 писал(а):

Нехорошо пудрить мозги смешением предмета с его описанием.

С другой стороны, излишний пуризм тоже может мешаться под ногами, до той поры, "пока всё работает". Придёт время - и научится клиент разнице между тензором и матрицей, а поначалу это его не тормозит.

[q271828]

То есть по каким индексам нужно суммировать? Я не понял.

[arseniiv]

$$a_{ij}b^{ij}\equiv\sum_{i,j} a_{ij}b^{ij}.$$

[q271828]

И никакой индекс не фиксирован? Как это? Просто суммировать по всем тензорам?

[arseniiv]

По каким всем тензорам? У вас всего два тензора — $a$ и $b$. Если размерность векторного пространства равна $n$, каждый индекс в наборе координат тензора пробегает $n$ значений, и в вашем случае в сумме $n^2$ элементов.

-- Пн сен 08, 2014 00:23:48 --

Например, $n=2$. Тогда координат $a_{ij}$ четыре: $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}$, а

$$a_{ij}b^{ij} = a_{11}b^{11}+a_{12}b^{12}+a_{21}b^{21}+ a_{22}b^{22}.$$

-- Пн сен 08, 2014 00:25:17 --

И вообще в вашей задаче разве нужно до этого спускаться?