Может ли разрывная функция оставлять любую метрику метрикой

[Legioner93]

Есть много непрерывных функций $f(t)$, которые для любой метрики $\rho$ дают новую метрику $f(\rho)$.
А может ли такая функция быть разрывной? Или всё-таки можно доказать непрерывность?

Мысли:
Из непрерывности в точке 0 быстро получается непрерывность в любой другой точке $t$, поэтому достаточно доказать в нуле.
Если где-то и "ловить за руку", то на нарушении третьей аксиомы (неравенство треугольника)

Пытался доказать обязательную непрерывность $f(t)$ на примере действия на стандартные метрики на прямой или плоскости. Как-то так: Давайте посмотрим на отрезок длины $t_0$. Если метрика разрывна в $t_0$, то немного удлиним (укортим) отрезок до некоторого $t_0+\delta$, такого что новая метрика скакнёт достаточно сильно (на $\varepsilon$) И уже хочется сказать, что вот тут-то неравенство треугольника и нарушится, но $f(\delta)$ может быть чёрт-те чем, в том числе и сравнимым с $\varepsilon$. Или не может быть - если функция непрерывна в нуле.

Правильный ответ на вопрос в названии темы мне не известен, вполне возможно, что примеры разрывных функций $f(t)$ существуют.

[patzer2097]

$f(t)=\mbox{знак}(t)$ не подойдет?

[Legioner93]

Подойдёт, спасибо.
Правда, особо легче не стало...

[Oleg Zubelevich]

Legioner93 в сообщении #904850 писал(а):

Есть много непрерывных функций $f(t)$, которые для любой метрики $\rho$ дают новую метрику $f(\rho)$.

может стоит перечислить свойства которыми такая функция должна обладать

[Legioner93]

Oleg Zubelevich
В этом и состояла изначальная задача
Пока у меня гипотеза, что $f$ должна быть выпуклой вверх на $[0, + \infty)$
В одну сторону доказал, в другую тоже докажу, надеюсь. Но всё это для достаточно хороших функций. Например для непрерывных. Хотя ещё проще для дифференцируемых.
А для разрывных доказательство не работает.

[patzer2097]

Legioner93 в сообщении #905011 писал(а):

Пока у меня гипотеза, что $f$ должна быть выпуклой вверх на $[0, + \infty)$

вроде бы это не обязательно: $f(0)=0, f(1)=2, f(x)=1$ иначе. Похоже, кроме самого простого условия тут ничего не придумать

[Legioner93]

patzer2097
Oleg Zubelevich
А вам известные какие-нибудь свойства? Из неравенства треугольника я вывел например $f(x+y) \leq f(x)+f(y)$ - субаддитивность. Любая выпуклая вверх функция удовлетворяет такому неравенству, но обратное, вообще говоря, неверно (даже для непрерывных). Также получил похожее $f(x-y) \geq f(x) - f(y)$

[Legioner93]

Если функция дифференцируема, то $|f'(x)| \leq f'(0)$

[Legioner93]

В общем, решил остановиться на двух условиях, которые смог доказать:
1) Достаточное: выпуклость вверх. Доказал даже для разрывных $f(t)$. Не является необходимым условием, пример привёл patzer2097
2) Условно-необходимое: если $f(t)$ дифференцируема (1 раз), то $|f'(t)| \leq f'(0)$

[mihaild]

Для дважды дифференцируемых функций выпуклость вверх является необходимым и достаточным условием. Для менее гладких непонятно.

[Legioner93]

Вы можете привести доказательство необходимости? Хотя бы на пальцах. Чисто интуитивно функция типа "прямая с небольшими колебаниями", например такая может и не "ломать" метрику.
P.S. График по ссылке строится секунд 10

-- Пн сен 08, 2014 02:36:18 --

Хотя эта ломает, конечно. Завтра попробую построить что-нибудь получше