Есть много непрерывных функций

, которые для любой метрики

дают новую метрику

.
А может ли такая функция быть разрывной? Или всё-таки можно доказать непрерывность?
Мысли:
Из непрерывности в точке 0 быстро получается непрерывность в любой другой точке

, поэтому достаточно
доказать в нуле.Если где-то и "ловить за руку", то на нарушении третьей аксиомы (неравенство треугольника)
Пытался доказать обязательную непрерывность

на примере действия на стандартные метрики на прямой или плоскости. Как-то так: Давайте посмотрим на отрезок длины

. Если метрика разрывна в

, то
немного удлиним (укортим) отрезок до некоторого

, такого что новая метрика скакнёт
достаточно сильно (на

) И уже хочется сказать, что вот тут-то неравенство треугольника и нарушится, но

может быть чёрт-те чем, в том числе и сравнимым с

. Или не может быть -
если функция непрерывна в нуле. Правильный ответ на вопрос в названии темы мне не известен, вполне возможно, что примеры разрывных функций

существуют.