2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решить в натуральных числах
Сообщение05.12.2007, 20:33 


11/03/06
236
Решить в натуральных числах уравнение:
x^2+3y^2=4z^3
при условии, что x,y,z- взаимно просты и z>5 и y>1.

P.s.
Я подозреваю, что оно не имеет решений, но доказать не могу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.12.2007, 06:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Amigo писал(а):
Я подозреваю, что оно не имеет решений, но доказать не могу.

Наверное, потому и не можете, что ещё как имеет, например:
$$17^2+3\cdot19^2=4\cdot7^3.$$
Можно поднапрячься и придумать бесконечно много решений, например,
$$\left(a^3+3a^2b-6ab^2+b^3\right)^2+3\left(a^3-3a^2b+b^3\right)^2=4\left(a^2-ab+b^2\right)^3.$$
Надо только обеспечить условия на $x,y,z$. Для этого достаточно, чтобы $a$ и $b$ были взаимно простыми натуральными числами, $a+b\not\equiv0\pmod3$, $a>3b$. (Если я нигде не напутал... :D ) Думаю, что можно написать все решения, но тут уже возиться надо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.12.2007, 17:38 


11/03/06
236
Спасибо большое за помощь. Я это уравнение вывел, когда пробовал разобрать случай ВТФ
для n=3. Разбирая отдельные случаи для n=3, мне представилось это уравнение,
я ожидал, что оно не будет иметь решений и тогда один из двух случаев на который разбивается ВТФ для n=3 при моём подходе - будет закрыт. Однако, детский метод не прокатил :D.

Добавлено спустя 5 минут 41 секунду:

Уважаемый RIP у меня к Вам вопрос: как Вы так быстро подобрали выражения для x,y,z через параметры a,b? Вы какую то теорию используете или просто как то догадались? Разьясните пожалуйста по подробней.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.12.2007, 23:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Понятно, что использую некую теорию, впрочем довольно простую. Попробую объяснить на примере. Во-первых, имеет место тождество
\begin{equation}(a^2+3b^2)(c^2+3d^2)=(ac-3bd)^2+3(ad+bc)^2.\end{equation}
Как его получить? Да очень просто. Заметим, что
$$x^2+3y^2=(x+y\sqrt{-3})(x-y\sqrt{-3}).$$
Пишем
$$(a+b\sqrt{-3})(c+d\sqrt{-3})=(ac-3bd)+(ad+bc)\sqrt{-3}.$$
Тогда
$$(a-b\sqrt{-3})(c-d\sqrt{-3})=(ac-3bd)-(ad+bc)\sqrt{-3}.$$
Осталось перемножить эти выражения. Какой нам толк от (1)? А вот какой: очевидно, что его можно обобщить на любое количество сомножителей , в частности, на четыре. А что если мы возьмём в качестве первого сомножителя $4=1^2+3\cdot1^2$, а остальные три сомножителя равными $a^2+3b^2$? Получим серию решений уравнения $x^2+3y^2=4z^3$ (где $z=a^2+3b^2$, а $x,y$ --- какие получатся). Формулы получатся не такие, как у меня, так как я действовал по-другому: ведь надо было обеспечить взаимную простоту $x,y,z$, а для этого надо пользоваться некоторыми простыми фактами из алгебраической теории чисел (а именно, законами разложения на простые множители в кольце $$\mathbb{Z}[e^{\frac{2\pi i}3}]$$). Я думаю, что с книжкой Постникова про ВТФ Вы знакомы, там вроде бы всё это есть (и ещё много где).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group