Решить в натуральных числах

[Amigo]

Решить в натуральных числах уравнение:
x^2+3y^2=4z^3
при условии, что x,y,z- взаимно просты и z>5 и y>1.

P.s.
Я подозреваю, что оно не имеет решений, но доказать не могу.

[RIP]

Amigo писал(а):

Я подозреваю, что оно не имеет решений, но доказать не могу.

Наверное, потому и не можете, что ещё как имеет, например:

$$17^2+3\cdot19^2=4\cdot7^3.$$

Можно поднапрячься и придумать бесконечно много решений, например,

$$\left(a^3+3a^2b-6ab^2+b^3\right)^2+3\left(a^3-3a^2b+b^3\right)^2=4\left(a^2-ab+b^2\right)^3.$$

Надо только обеспечить условия на $x,y,z$. Для этого достаточно, чтобы $a$ и $b$ были взаимно простыми натуральными числами, $a+b\not\equiv0\pmod3$, $a>3b$. (Если я нигде не напутал... ) Думаю, что можно написать все решения, но тут уже возиться надо.

[Amigo]

Спасибо большое за помощь. Я это уравнение вывел, когда пробовал разобрать случай ВТФ
для n=3. Разбирая отдельные случаи для n=3, мне представилось это уравнение,
я ожидал, что оно не будет иметь решений и тогда один из двух случаев на который разбивается ВТФ для n=3 при моём подходе - будет закрыт. Однако, детский метод не прокатил .

Добавлено спустя 5 минут 41 секунду:

Уважаемый RIP у меня к Вам вопрос: как Вы так быстро подобрали выражения для x,y,z через параметры a,b? Вы какую то теорию используете или просто как то догадались? Разьясните пожалуйста по подробней.

[RIP]

Понятно, что использую некую теорию, впрочем довольно простую. Попробую объяснить на примере. Во-первых, имеет место тождество
\begin{equation}(a^2+3b^2)(c^2+3d^2)=(ac-3bd)^2+3(ad+bc)^2.\end{equation}
Как его получить? Да очень просто. Заметим, что

$$x^2+3y^2=(x+y\sqrt{-3})(x-y\sqrt{-3}).$$

Пишем

$$(a+b\sqrt{-3})(c+d\sqrt{-3})=(ac-3bd)+(ad+bc)\sqrt{-3}.$$

Тогда

$$(a-b\sqrt{-3})(c-d\sqrt{-3})=(ac-3bd)-(ad+bc)\sqrt{-3}.$$

Осталось перемножить эти выражения. Какой нам толк от (1)? А вот какой: очевидно, что его можно обобщить на любое количество сомножителей , в частности, на четыре. А что если мы возьмём в качестве первого сомножителя $4=1^2+3\cdot1^2$, а остальные три сомножителя равными $a^2+3b^2$? Получим серию решений уравнения $x^2+3y^2=4z^3$ (где $z=a^2+3b^2$, а $x,y$ --- какие получатся). Формулы получатся не такие, как у меня, так как я действовал по-другому: ведь надо было обеспечить взаимную простоту $x,y,z$, а для этого надо пользоваться некоторыми простыми фактами из алгебраической теории чисел (а именно, законами разложения на простые множители в кольце

$$\mathbb{Z}[e^{\frac{2\pi i}3}]$$

). Я думаю, что с книжкой Постникова про ВТФ Вы знакомы, там вроде бы всё это есть (и ещё много где).