2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Преобразование пределов.
Сообщение02.09.2014, 22:36 
Здравствуйте. Первый раз натолкнулся на пределы с прогрессиями,зашел в тупик. Подскажите пожалуйста,как правильно решать пределы такого вида:
$$\lim_{n\to \infty} \frac{\(1^2}{n^3}+\frac{\(3^2}{n^3}+...+\frac{\((2n-1)^2}{n^3}$$
Сначала думал,что так:
$$\lim_{n\to \infty} \frac{\(1^2+3^2+(2n-1)^2}{n^3}=\lim_{n\to \infty} \frac{\ (1+2n-1)n}{2n^3}=\lim_{n\to \infty} \frac{\(1}{n}=0$$но понимаю,что делаю полностью неправильно. Скажите пожалуйста,что я не так делаю?

 
 
 
 Re: Преобразование пределов.
Сообщение02.09.2014, 22:42 
Аватара пользователя
Попробуйте вынести одну энную из квадратных скобок.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение02.09.2014, 22:44 
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение02.09.2014, 23:51 
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 
 
 
 Re: Преобразование пределов.
Сообщение03.09.2014, 00:07 
kvendingoldo в сообщении #903149 писал(а):
Сначала думал,что так:
$$\lim_{n\to \infty} \frac{\(1^2+3^2+(2n-1)^2}{n^3}=\lim_{n\to \infty} \frac{\ (1+2n-1)n}{2n^3}=\lim_{n\to \infty} \frac{\(1}{n}=0$$но понимаю,что делаю полностью неправильно. Скажите пожалуйста,что я не так делаю?
А вы проверили это ваше $1^2 +\ldots+ (2n-1)^2 = \frac12(1+2n-1)n$? Подставьте конкретное $n$ — например, 2.

-- Ср сен 03, 2014 03:08:44 --

kvendingoldo в сообщении #903149 писал(а):
Первый раз натолкнулся на пределы с прогрессиями
Так тут и нет прогрессии никакой. :roll:

 
 
 
 Re: Преобразование пределов.
Сообщение03.09.2014, 00:34 
Аватара пользователя
kvendingoldo в сообщении #903149 писал(а):
пределы такого вида:
$$\lim_{n\to \infty} \frac{\(1^2}{n^3}+\frac{\(3^2}{n^3}+...+\frac{\((2n-1)^2}{n^3}$$

arseniiv намекает, что там три точечки есть, и они не просто так

 
 
 
 Re: Преобразование пределов.
Сообщение03.09.2014, 05:04 
alcoholist в сообщении #903197 писал(а):
arseniiv намекает, что там три точечки есть, и они не просто так
Нет, три точечки ТС видит. Он честно применяет формулу для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии, каковой он считает последовательность $1^2$, $3^2$, ..., $(2n-1)^2$. В этом-то и проблема.

 
 
 
 Re: Преобразование пределов.
Сообщение03.09.2014, 06:31 
nnosipov в сообщении #903211 писал(а):
alcoholist в сообщении #903197 писал(а):
arseniiv намекает, что там три точечки есть, и они не просто так
Нет, три точечки ТС видит. Он честно применяет формулу для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии, каковой он считает последовательность $1^2$, $3^2$, ..., $(2n-1)^2$. В этом-то и проблема.



Интуитивно я понимаю,что это не геометрическая,и не арифмитическая прогресиия. Не подскажите,как можно вычислить сумму n членов данной последовательности?

PS: А где можно прочесть про сумму n членов любой последовательности?

 
 
 
 Re: Преобразование пределов.
Сообщение03.09.2014, 07:29 
kvendingoldo в сообщении #903218 писал(а):
Не подскажите,как можно вычислить сумму n членов данной последовательности?
По-разному можно. Во-первых, можно попробовать угадать ответ, экспериментируя с конкретными значениями $n$, а потом доказать угаданную формулу индукцией по $n$. Как угадывать? Вы уже догадываетесь, что сумма первых $n$ членов любой арифметической прогрессии представляет собой некое выражение 2-й степени от $n$. Попробуйте предположить, что в случае с Вашей последовательностью ответом будет выражение от $n$ степени (какой, как Вы думаете?), потом подберите подходящие коэффициенты, т.е. так, чтобы формула давала правильные значения при нескольких первых значениях $n$. Во-вторых, есть некий общий способ, который позволяет подсчитать не только сумму квадратов, но и кубов, четвёртых степеней и т.д. Эта тема не раз обсуждалась здесь на форуме, попробуйте поискать.
kvendingoldo в сообщении #903218 писал(а):
А где можно прочесть про сумму n членов любой последовательности?
Боюсь, что нигде, если Вы имеете в виду универсальный способ вычисления таких сумм.

 
 
 
 Re: Преобразование пределов.
Сообщение03.09.2014, 08:21 
Аватара пользователя
Посмотрите в Демидовиче №2

 
 
 
 Re: Преобразование пределов.
Сообщение03.09.2014, 08:36 
Аватара пользователя
kvendingoldo в сообщении #903218 писал(а):
Не подскажите,как можно вычислить сумму n членов данной последовательности?
Зачем сумму, ведь нужен только предел? Поэтому спокойно заменяйте (приближенно)
$$ (2k+1)^2 \approx  \frac{1}{6}\left( (2k+1)^3-(2k-1)^3\right)$$
и сокращайте почти все

 
 
 
 Re: Преобразование пределов.
Сообщение03.09.2014, 15:28 
TOTAL в сообщении #903239 писал(а):
kvendingoldo в сообщении #903218 писал(а):
Не подскажите,как можно вычислить сумму n членов данной последовательности?
Зачем сумму, ведь нужен только предел? Поэтому спокойно заменяйте (приближенно)
$$ (2k+1)^2 \approx  \frac{1}{6}\left( (2k+1)^3-(2k-1)^3\right)$$
и сокращайте почти все

А не подскажете как научится таким заменам?(где о них почитать).

-- 03.09.2014, 16:28 --

bot в сообщении #903236 писал(а):
Посмотрите в Демидовиче №2

Я видел №2,он мне помог решить другие пределы.

 
 
 
 Re: Преобразование пределов.
Сообщение03.09.2014, 15:36 
Аватара пользователя
kvendingoldo в сообщении #903218 писал(а):
PS: А где можно прочесть про сумму n членов любой последовательности?
Ну, совсем любой это слишком сложно, а так можно почитать "Конкретную математику" Кнута.

 
 
 
 Re: Преобразование пределов.
Сообщение03.09.2014, 16:40 
Аватара пользователя
Еще можно свести предел к пределу сумм Римана и потом заменить определенным интегралом.

 
 
 
 Re: Преобразование пределов.
Сообщение03.09.2014, 18:19 
Скажите,а когда мы получаем формулу суммы через математическую индукцию, то мы сначала "угадываем" её?

-- 03.09.2014, 19:20 --

Brukvalub в сообщении #903386 писал(а):
Еще можно свести предел к пределу сумм Римана и потом заменить определенным интегралом.


Мне пока слишком рано такое делать ;) Анализ только начался.

 
 
 [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group