Преобразование пределов.

[kvendingoldo]

Здравствуйте. Первый раз натолкнулся на пределы с прогрессиями,зашел в тупик. Подскажите пожалуйста,как правильно решать пределы такого вида:

$$\lim_{n\to \infty} \frac{\(1^2}{n^3}+\frac{\(3^2}{n^3}+...+\frac{\((2n-1)^2}{n^3}$$

Сначала думал,что так:

$$\lim_{n\to \infty} \frac{\(1^2+3^2+(2n-1)^2}{n^3}=\lim_{n\to \infty} \frac{\ (1+2n-1)n}{2n^3}=\lim_{n\to \infty} \frac{\(1}{n}=0$$

но понимаю,что делаю полностью неправильно. Скажите пожалуйста,что я не так делаю?

[Dan B-Yallay]

Попробуйте вынести одну энную из квадратных скобок.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[arseniiv]

kvendingoldo в сообщении #903149 писал(а):

Сначала думал,что так:

$$\lim_{n\to \infty} \frac{\(1^2+3^2+(2n-1)^2}{n^3}=\lim_{n\to \infty} \frac{\ (1+2n-1)n}{2n^3}=\lim_{n\to \infty} \frac{\(1}{n}=0$$

но понимаю,что делаю полностью неправильно. Скажите пожалуйста,что я не так делаю?

А вы проверили это ваше $1^2 +\ldots+ (2n-1)^2 = \frac12(1+2n-1)n$? Подставьте конкретное $n$ — например, 2.

-- Ср сен 03, 2014 03:08:44 --

kvendingoldo в сообщении #903149 писал(а):

Первый раз натолкнулся на пределы с прогрессиями

Так тут и нет прогрессии никакой.

[alcoholist]

kvendingoldo в сообщении #903149 писал(а):

пределы такого вида:

$$\lim_{n\to \infty} \frac{\(1^2}{n^3}+\frac{\(3^2}{n^3}+...+\frac{\((2n-1)^2}{n^3}$$

arseniiv намекает, что там три точечки есть, и они не просто так

[nnosipov]

alcoholist в сообщении #903197 писал(а):

arseniiv намекает, что там три точечки есть, и они не просто так

Нет, три точечки ТС видит. Он честно применяет формулу для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии, каковой он считает последовательность $1^2$, $3^2$, ..., $(2n-1)^2$. В этом-то и проблема.

[kvendingoldo]

nnosipov в сообщении #903211 писал(а):

alcoholist в сообщении #903197 писал(а):

arseniiv намекает, что там три точечки есть, и они не просто так

Нет, три точечки ТС видит. Он честно применяет формулу для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии, каковой он считает последовательность $1^2$, $3^2$, ..., $(2n-1)^2$. В этом-то и проблема.

Интуитивно я понимаю,что это не геометрическая,и не арифмитическая прогресиия. Не подскажите,как можно вычислить сумму n членов данной последовательности?

PS: А где можно прочесть про сумму n членов любой последовательности?

[nnosipov]

kvendingoldo в сообщении #903218 писал(а):

Не подскажите,как можно вычислить сумму n членов данной последовательности?

По-разному можно. Во-первых, можно попробовать угадать ответ, экспериментируя с конкретными значениями $n$, а потом доказать угаданную формулу индукцией по $n$. Как угадывать? Вы уже догадываетесь, что сумма первых $n$ членов любой арифметической прогрессии представляет собой некое выражение 2-й степени от $n$. Попробуйте предположить, что в случае с Вашей последовательностью ответом будет выражение от $n$ степени (какой, как Вы думаете?), потом подберите подходящие коэффициенты, т.е. так, чтобы формула давала правильные значения при нескольких первых значениях $n$. Во-вторых, есть некий общий способ, который позволяет подсчитать не только сумму квадратов, но и кубов, четвёртых степеней и т.д. Эта тема не раз обсуждалась здесь на форуме, попробуйте поискать.

kvendingoldo в сообщении #903218 писал(а):

А где можно прочесть про сумму n членов любой последовательности?

Боюсь, что нигде, если Вы имеете в виду универсальный способ вычисления таких сумм.

[bot]

Посмотрите в Демидовиче №2

[TOTAL]

kvendingoldo в сообщении #903218 писал(а):

Не подскажите,как можно вычислить сумму n членов данной последовательности?

Зачем сумму, ведь нужен только предел? Поэтому спокойно заменяйте (приближенно)

$$ (2k+1)^2 \approx \frac{1}{6}\left( (2k+1)^3-(2k-1)^3\right)$$

и сокращайте почти все

[kvendingoldo]

TOTAL в сообщении #903239 писал(а):

kvendingoldo в сообщении #903218 писал(а):

Не подскажите,как можно вычислить сумму n членов данной последовательности?

Зачем сумму, ведь нужен только предел? Поэтому спокойно заменяйте (приближенно)

$$ (2k+1)^2 \approx \frac{1}{6}\left( (2k+1)^3-(2k-1)^3\right)$$

и сокращайте почти все

А не подскажете как научится таким заменам?(где о них почитать).

-- 03.09.2014, 16:28 --

bot в сообщении #903236 писал(а):

Посмотрите в Демидовиче №2

Я видел №2,он мне помог решить другие пределы.

[Xaositect]

kvendingoldo в сообщении #903218 писал(а):

PS: А где можно прочесть про сумму n членов любой последовательности?

Ну, совсем любой это слишком сложно, а так можно почитать "Конкретную математику" Кнута.

[Brukvalub]

Еще можно свести предел к пределу сумм Римана и потом заменить определенным интегралом.

[kvendingoldo]

Скажите,а когда мы получаем формулу суммы через математическую индукцию, то мы сначала "угадываем" её?

-- 03.09.2014, 19:20 --

Brukvalub в сообщении #903386 писал(а):

Еще можно свести предел к пределу сумм Римана и потом заменить определенным интегралом.

Мне пока слишком рано такое делать ;) Анализ только начался.