Отождествление спектра и аффинной плоскости

[Xaositect]

OlgaD в сообщении #900971 писал(а):

"Лишние точки" - это немаксимальные простые идеалы? У Вас выходит, что общих точек множество?

Да, я немного ошибся с терминологией, наверное. Это будут общие точки неприводимых подсхем, а не только самого спектра.

[OlgaD]

Xaositect в сообщении #900972 писал(а):

а не только самого спектра.

Наверное, лучше сказать "но не спектра". Я вообще-то новичок в теории схем, поэтому очень здесь путаюсь. У меня есть вопрос по общим точкам http://dxdy.ru/topic87109.html, но пока мне никто не ответил.

Вообще из прочитанного я поняла, что нильрадикал кольца $A$ и есть общая точка $\operatorname{Spec}A,$ если, конечно, он прост.

[Xaositect]

OlgaD в сообщении #900979 писал(а):

Вообще из прочитанного я поняла, что нильрадикал кольца $A$ и есть общая точка $\operatorname{Spec}A,$ если, конечно, он прост.

Да. Любой простой идеал $P$ содержит в себе радикал, потому что для нильпотентного элемента $a$ верно $a^n = 0 \in P$, и по определению простого идеала должно быть $a\in P$.

[OlgaD]

Следовательно, хотим определить общую точку спектра $\operatorname{Spec}A$ - вычисляем нильрадикал кольца $A$ и проверяем, что он прост. То же самое с замкнутыми подмножествами спектра: если $V(\mathfrak{a})\subset\operatorname{Spec}A$ - замкнутое подмножество, то вычисляем нильрадикал кольца $A/\mathfrak{a}$ и проверяем, что он прост.

[OlgaD]

Xaositect в сообщении #900761 писал(а):

Но если мы рассмотрим категорию аффинных многообразий и категорию аффинных схем, то окажется, что первая вложена во вторую, то есть каждому многообразию соответствует некоторая схема

У Шафаревича утверждается, что здесь не вложение, а изоморфизм категорий. Хотя как мне представляется объекты тих категорий тесно связаны, но не являются полностью идентичными. А вообще, насколько их можно отождествлять? И еще вопрос, что означает изоморфизм категорий (не только формальное определение)?

[Xaositect]

OlgaD в сообщении #902870 писал(а):

У Шафаревича утверждается, что здесь не вложение, а изоморфизм категорий.

А где у Шафаревича это написано?

OlgaD в сообщении #902870 писал(а):

И еще вопрос, что означает изоморфизм категорий (не только формальное определение)?

То же, что и для других алгебраических штук - что это одинаковые структуры, представленные разными объектами.

[OlgaD]

Xaositect в сообщении #902894 писал(а):

А где у Шафаревича это написано?

с. 336, пример 5

Xaositect в сообщении #902894 писал(а):

То же, что и для других алгебраических штук - что это одинаковые структуры, представленные разными объектами.

Насколько я поняла, аффинные схемы имеют не совсем ту же структуру, что и аффинное многообразие. Между точками многообразия и максимальными идеалами взаимно однозначное соответствие. Однако спектр любого кольца, в том числе и аффинного координатного кольца многообразия, состоит из всех простых идеалов этого кольца. С другой стороны абстрактное алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем $k$ называется приведенная отделимая схема конечного типа над $k.$

[Xaositect]

OlgaD в сообщении #902953 писал(а):

с. 336, пример 5

Там немного неаккуратно сформулировано. Изоморфизм у нас между категорией аффинных многообразий и некоторой подкатегорией категории аффинных схем. Это называется вложением категорий.

OlgaD в сообщении #902953 писал(а):

Насколько я поняла, аффинные схемы имеют не совсем ту же структуру, что и аффинное многообразие. Между точками многообразия и максимальными идеалами взаимно однозначное соответствие. Однако спектр любого кольца, в том числе и аффинного координатного кольца многообразия, состоит из всех простых идеалов этого кольца.

Изоморфизм не между самими многообразиями и схемами, а между категорией многообразий и категорией соответствующих им схем.

[OlgaD]

Я пока не очень сильна в теории категорий, только самые азы. Поэтому можно поподробнее про свойства изоморфных категорий?
Просто, наверное слишком буквально поняла главную цель введения понятия схемы:

Цитата:

связать с любым коммутативным кольцом $A$ такой геометрический объект, который в случае, когда $A$ координатное кольцо аффинного многообразия $X,$ должен возвращать нас обратно к $X.$

[Xaositect]

Категория - это совокупность каких-то объектов и каким-то образом определенных морфизмов между объектами. Соответственно, изоморфизм двух категорий означает, что есть взаимно-однозначное соответствие и между объектами, и между морфизмами. И получается, что взаимоотношения между объектами (которые можно выразить морфизмами) в категории будут такими же, как и взаимоотношения между соответствующими объектами в изоморфной категории.

[OlgaD]

Чтобы окончательно определиться с категориями...Правильно ли я понимаю, что есть категория аффинных многообразий, которая изоморфна какой-то подкатегории (а какой именно?) категории аффинных схем. А общие схемы, склеенные из аффинных, тоже образуют категорию?

[Xaositect]

OlgaD в сообщении #903003 писал(а):

Чтобы окончательно определиться с категориями...Правильно ли я понимаю, что есть категория аффинных многообразий, которая изоморфна какой-то подкатегории (а какой именно?) категории аффинных схем.

Да

OlgaD в сообщении #903003 писал(а):

(а какой именно?)

Если я правильно понимаю, полная подкатегория, образованная спектрами $k$-алгебр без нильпотентных элементов.

OlgaD в сообщении #903003 писал(а):

А общие схемы, склеенные из аффинных, тоже образуют категорию?

Да. Мы же определили понятие морфизма схем. (Оно еще должно удовлетворять аксиомам категории, это несложно проверить)

[OlgaD]

категория аффинных схем содержит категорию схем или наоборот?

[Xaositect]

OlgaD в сообщении #903011 писал(а):

категория аффинных схем содержит категорию схем или наоборот?

Наоборот.

[OlgaD]

Спасибо. Мозаика начинает потихоньку собираться в единое целое.

-- 02.09.2014, 18:38 --

Цитата:

Абстрактное алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем $k$ называется приведенная отделимая схема конечного типа над $k.$

В это определение по-видимому и вкладывается смысл изоморфизма категорий?