Почему независимы координата и производная от неё?

[Someone]

Нет, ну в чём проблема-то? Чем вдруг не понравились слова "вспоминаем, что $q$ и $\dot q$ зависимы"?
Есть же такое свойство, как инвариантность формы полного дифференциала. Оно как раз о том, что выражение для полного дифференциала не зависит от того, являются ли переменные зависимыми или независимыми.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #901932 писал(а):

по-моему в этой теме уже давно все все поняли

Вот ещё, кстати, хороший (и.м.х.о.) совет - не расписывайтесь за всех.

-- Сб авг 30, 2014 01:28:01 --

Тем, у кого могли возникнуть совершенно обоснованные недоумения: это я не сам с собой разговариваю. Это Oleg Zubelevich постит сообщение, я на него отвечаю, после чего он его зачем-то удаляет. Любопытно было бы узнать, на кой ему это делать и как вообще технически такое получается (вопрос к администрации).

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #901935 писал(а):

это я не сам с собой разговариваю.

Из песни Травы, травы писал(а):

Тихо сам с собою тихо сам с собою
Я веду беседу

[Утундрий]

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #901936 писал(а):

Тихо сам с

Red_Herring в сообщении #901936 писал(а):

обо

Red_Herring в сообщении #901936 писал(а):

Я

Red_Herring в сообщении #901936 писал(а):

м

Red_Herring в сообщении #901936 писал(а):

и

Red_Herring в сообщении #901936 писал(а):

Я

Red_Herring в сообщении #901936 писал(а):

беседу

Red_Herring в сообщении #901936 писал(а):

ду

Тихо сам с обоями я беседу ду? Ну и что это за бред сумасшедшего?

[Red_Herring]

Red_Herring в сообщении #901910 писал(а):

Например для $n=1$, то можно сконструировать Лагранжианы (линейные по $\dot{q}$), такие что что уравнения будут первого порядка по $t$

Например, возьмем

$$L= \frac{1}{2}\sum a_{jk} \dot{q}_k q_j - V(q,t)$$

с антисимметричной невырожденной вещественной матрицей $A=(a_{jk})$. Тогда Лагранжевы уравнения будут $1$-го порядка

$$ \sum_j a_{jk}\dot{q}_k - \partial_{q_j} V=0. $$

[g______d]

Red_Herring в сообщении #901960 писал(а):

Тогда Лагранжевы уравнения будут $1$-го порядка

А у меня нулевого получились. Ну и вообще, первое слагаемое же полная производная...

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #901910 писал(а):

Как отметил Alex-Yu в принципе Лагранжиан мог бы содержать и производные высших порядков по времени.

Если уж в принципе, то действие могло бы быть и совсем нелокальным функционалом. И тогда не получилось бы вообще никаких дифференциальных уравнений. Хорошо бы еще если нелинейные интегральные (это требует уже некого ограничения на вид функционала). А то могли бы быть вообще лишь уравнения в вариационных производных

Конечно, физические принципы несколько ограничивают полную общность функционала действия. В частности, если мы принимаем принцип, что состояние (в самом обобщенном смысле --- координаты и СКОЛЬКО-ТО их производных по времени) в некоторый момент времени полностью определяет эволюцию дальше, то должны получаться дифференциальные уравнения. А тогда действие должно быть квазилокальным функционалом (не обязательно только с первыми производными, но интеграл от некой функции координат и конечного числа производных).

Впрочем, применение вариационного принципа шире, чем получение уравнений движения системы точек. Возмите, к примеру, статическое равновесие некой сплошной среды. Вот здесь запросто может быть варьируемый функционал и нелинейный и ни сколечки не (квази)локальный. Точнее ясно, что он такой "страшный" и есть, но его обычно можно приближенно заменить аппроксимацией квазилокальным функционалом. И тогда: ура, так все просто, получаются всего лишь ( ) нелинейные (а если сильно повезет, то линейные) уравнения в частных производных. Могло бы быть и хуже, причем намного

[Red_Herring]

g______d в сообщении #901962 писал(а):

А у меня нулевого получились. Ну и вообще, первое слагаемое же полная производная...

Если $a_{jk}$ была симметрична, то Вы были бы правы. А потому она антисимметрична. Простейший пример

$$ L=\dot{q}_1q_2-\dot{q}_2q_1. $$

Физики такое в комплексной форме пишут

[g______d]

Red_Herring в сообщении #901983 писал(а):

А потому она антисимметрична.

Да, не заметил слово "антисимметричной", сорри.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #901910 писал(а):

Разумеется, это подгонка под ответ—что Лагранж и его современники и делали.

Простите, не теряйте focus.

Одно дело - то, что делали Лагранж и его современники в конце 18 - начале 19 века. Тогда "аналитическая механика" касалась только такой сферы физических явлений, как механика. Там можно было "подгонять под ответ".

И совсем другое дело - то, что делали уже в конце 19 - начале 20 века сначала Больцман-Гиббс, а потом Шварцшильд-Нётер-Гильберт-Эйнштейн и так далее. Тогда "аналитическую/теоретическую механику" как матаппарат напрямую экспортировали в такие сферы физических явлений, которые механикой уже не являются: в межмолекулярные взаимодействия, в теорию поля. И вот тут как раз "старая подгонка" работает на новом материале. Что и представляет собой удивительное стечение обстоятельств.

Red_Herring в сообщении #901910 писал(а):

Б.Окуджава писал(а):

Так природа захотела,
Почему, не наше дело,
Для чего, не нам судить.

Для физика это как раз - "наше дело", и представляет интерес. Понимаю, что математики к этому могут иначе относиться. Типа, есть модель - и не важно, откуда она происходит, давайте исследовать свойства этой модели.

Oleg Zubelevich в сообщении #901911 писал(а):

предлагаю вместо фразы "подгонка под ответ" использовать слово "теорема"

Ага, вот она, разница между физикой и математикой :-) Не в ту сторону мыслите. Задача перед физикой стоит - не теоремы построить, а понять устройство природы. А потом уже, поняв, можно и теоремы повыводить - это для физики занятие очень побочное.

-- 30.08.2014 11:32:41 --

Alex-Yu в сообщении #901975 писал(а):

Конечно, физические принципы несколько ограничивают полную общность функционала действия.

Кстати, интересно, а если есть симметрии и нётеровские законы сохранения, но функционал не лагранжева вида, то какие в принципе на него наложены ограничения?.. Мне кажется, отсюда можно было бы что-то вытащить (и может быть даже, довольно фундаментальное).

[Red_Herring]

Munin
В математике рассмотрено очень много классов, в т.ч. очень общих вариационных задач. Большинство из них не представляет интереса, по крайней мере в настоящее время, для физиков. Вы же первый умрете со скуки при их обсуждении (я продержусь дольше, но не бесконечно).

Из той же оперы: а почему волновая функция д.б. элементом гильбертова пространства, а не, скажем банахова или линейного локально выпуклого?

[Munin]

Red_Herring в сообщении #902025 писал(а):

В математике рассмотрено очень много классов, в т.ч. очень общих вариационных задач. Большинство из них не представляет интереса, по крайней мере в настоящее время, для физиков. Вы же первый умрете со скуки при их обсуждении (я продержусь дольше, но не бесконечно).

Разумеется, меня это интересует с другого конца: не выслушивать полный список, а быть в курсе, куда возможен шаг вправо-влево с той точки, на которой физика сейчас находится.

Red_Herring в сообщении #902025 писал(а):

Из той же оперы: а почему волновая функция д.б. элементом гильбертова пространства, а не, скажем банахова или линейного локально выпуклого?

А вот это вопрос интересный. Честно говоря, тождество параллелограмма в реальном эксперименте может быть проверено только с некоторой точностью, и не факт, что оно действительно точно выполняется. Вайнберг в своё время, как он пишет, пытался "ослабить" матмодель КМ, с тем, чтобы найти "test theory" для проверки её базовых постулатов, но у него ничего не получилось. Возможно, как раз банахизация подскажет вариант уравнений, которые сыграют соответствующую роль.

Но это мысли вслух, мне для реализации этой программы знаний сильно не хватает.

-- 30.08.2014 13:21:04 --

Разумеется, физически нет никаких оснований предпочитать гильбертово пространство предгильбертову. Но эту банальность вы, наверняка, и без меня знаете.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #902013 писал(а):

Кстати, интересно, а если есть симметрии и нётеровские законы сохранения, но функционал не лагранжева вида, то какие в принципе на него наложены ограничения?.. Мне кажется, отсюда можно было бы что-то вытащить (и может быть даже, довольно фундаментальное).

Очень даже может быть. Но я об этом думать не буду. Во всяком случае в обозримом будущем. Мне и без этого хватает о чем думать

Замечу, впрочем, что эффективное действие КТП как раз и не является (квази)локальным. Там же петли "запрятаны" в вершины. Поэтому возникают инегральные выражения типа

$$ \int \phi(x)\Gamma_2 (x-y)\phi(y)dxdy $$

И даже бесконечная сумма таких (существенно) нелокальных функционалов, причем не только квадратичных, но и более высоких степеней, всех степеней.

Кстати, КТП выраженная через эффективное действие, это уже не квантовая теория (точнее она "эффективно квантовая", вся квантовость уже "запрятана" в вершины $\Gamma_n$). Формально это классическая теория поля: поля $\phi$ (это среднее от квантового поля) удовлетворяют уравнениям, вытекающим из условия стационарности эффективного действия. Имеет самое прямое отношение к обсуждаемому вопросу

[Munin]

Ну не настолько всё плохо. Скажем, размерность пространства состояний для $n$ электронов всё равно $n$-мерная.

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #902025 писал(а):

Из той же оперы: а почему волновая функция д.б. элементом гильбертова пространства, а не, скажем банахова или линейного локально выпуклого?

а я вроде и нелинейного Шредингера видел, и естественно, там было $H^{k,p},\quad p\ne 2$