отображение класса вычетов [x]

[Eugeniy]

nnosipov в сообщении #900811 писал(а):

И в чём проблема, если, перед тем, как складывать, мы будем считать, что $[1]=[3]$?

Для введения операций над двумя множествами $ {..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...} $ и ${..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}$ в $\mathbb{Z}/(2)$ необходимо ввести систему однозначных обозначений элементов, так как в кольце определены бинарные операции. Бинарная операция однозначна по определению. Если рассматриваете класс вычетов как элемент кольца, то неоднозначность обозначений недопустима, так как приводит к неоднозначности бинарной операции. Нельзя писать $[1] + [2] = [3] = [5] = ...$
Стало быть равенство $[1] = [3]$ не имеет смысла в кольце $\mathbb{Z}/(2)$. А вы рассматриваете классы вычетов именно как элементы кольца.

Однако если рассматриваете класс вычетов сам по себе, не как элемент кольца, то можно обозначать класс вычетов как угодно.

Но если говорите, что это элемент кольца, то должна быть однозначность. А в Ваших обозначениях ее нет. Вместе с тем Вы рассматриваете классы вычетов как элементы кольца.

[popolznev]

Eugeniy в сообщении #900897 писал(а):

необходимо ввести систему однозначных обозначений элементов, так как в кольце определены бинарные операции

А в равенстве $11/10 = 1.1$ (это просто вещественные числа) вас не смущает неоднозначность обозначений?

[Xaositect]

Eugeniy в сообщении #900897 писал(а):

Для введения операций над двумя множествами $ {..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...} $ и ${..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}$ в $\mathbb{Z}/(2)$ необходимо ввести систему однозначных обозначений элементов

Совершенно необязательно. Достаточно того, чтобы для разных обозначений $a_1$ и $a_2$ одного объекта, и для разных обозначений $b_1$ и $b_2$ другого объекта было выполнено $a_1 + b_1 = a_1 + b_2 = a_2 + b_1 = a_2 + b_2$. В этом случаях пишут, что операция определена коррекно.

[Eugeniy]

Xaositect в сообщении #900907 писал(а):

Eugeniy в сообщении #900897 писал(а):

Для введения операций над двумя множествами $ {..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...} $ и ${..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}$ в $\mathbb{Z}/(2)$ необходимо ввести систему однозначных обозначений элементов

Совершенно необязательно. Достаточно того, чтобы для разных обозначений $a_1$ и $a_2$ одного объекта, и для разных обозначений $b_1$ и $b_2$ другого объекта было выполнено $a_1 + b_1 = a_1 + b_2 = a_2 + b_1 = a_2 + b_2$. В этом случаях пишут, что операция определена коррекно.

Не вырывайте. Суть в том, что бинарная операция должна однозначно определять результат. В ваших обозначениях однозначности нет.

[nnosipov]

Eugeniy, это не только не необходимо, но даже и неудобно. Ведь мало ввести операции, надо потом проверять, что эти операции удовлетворяют определённым условиям. И вот здесь, при проверке, неудобство зафиксированных (по какому-либо принципу) обозначений проявится.

[Xaositect]

Eugeniy в сообщении #900912 писал(а):

Не вырывайте. Суть в том, что бинарная операция должна однозначно определять результат. В ваших обозначениях однозначности нет.

В смысле нет? Однозначность обозначений - это когда каждому обозначению соответствует одна вещь. Наоборот не обязательно.
Вот, определяем мы $[x] + [y]$ как $[x+y]$. Это корректное определение, несмотря на то, что обозначение $[x]$ для класса неединственно. Каждой паре классов $[x]$ и $[y]$ соответствует единственный класс $[x+y]$, а уж то, что обозначения у него получаются разные - это неважно.

[nnosipov]

Eugeniy в сообщении #900912 писал(а):

В ваших обозначениях однозначности нет.

Там всё в порядке, это в учебниках называется проверкой корректности определения (в данном случае --- операции суммы двух классов вычетов). Разумеется, эту проверку нужно провести. Впрочем, она обычно очевидна и затруднений не должна вызывать.

[Eugeniy]

Xaositect в сообщении #900914 писал(а):

Eugeniy в сообщении #900912 писал(а):

Не вырывайте. Суть в том, что бинарная операция должна однозначно определять результат. В ваших обозначениях однозначности нет.

В смысле нет? Однозначность обозначений - это когда каждому обозначению соответствует одна вещь. Наоборот не обязательно.
Вот, определяем мы $[x] + [y]$ как $[x+y]$. Это корректное определение, несмотря на то, что обозначение $[x]$ для класса неединственно. Каждой паре классов $[x]$ и $[y]$ соответствует единственный класс $[x+y]$, а уж то, что обозначения у него получаются разные - это неважно.

Ладно. Скажу по-другому. В кольце $\mathbb{Z}/(2)$ должно быть конечное число элементов - 2:
{$..., -4, -2, 0, 2, 4, ...$},
{$..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...$}.
Согласны?

При Ваших обозначениях их бесконечное множество.

[Someone]

Eugeniy в сообщении #900922 писал(а):

При Ваших обозначениях их бесконечное множество.

Это обозначений бесконечное количество. А элементов два.

[arseniiv]

Eugeniy, рассматривайте обозначение $[n]$ как применение функции $[\cdot]\colon\mathbb Z\to\mathbb Z_2$ к $n$. То, что функция не обязана быть инъективной, вы, надеюсь, знаете. Вот $[\cdot]$ просто неинъективна, а вы комедию ломаете.

[mihailm]

(Оффтоп)

как один дурак сто мудрецов загрузил

[Eugeniy]

arseniiv в сообщении #900987 писал(а):

Eugeniy, рассматривайте обозначение $[n]$ как применение функции $[\cdot]\colon\mathbb Z\to\mathbb Z_2$ к $n$. То, что функция не обязана быть инъективной, вы, надеюсь, знаете. Вот $[\cdot]$ просто неинъективна, а вы комедию ломаете.

Это надо понимать как согласие с моим мнением? И все же не очень понятно насчет "$[\cdot]\colon\mathbb Z\to\mathbb Z_2$ к $n$" ...
По основной теме что-то скажете?

-- 27.08.2014, 23:36 --

Someone в сообщении #900925 писал(а):

Eugeniy в сообщении #900922 писал(а):

При Ваших обозначениях их бесконечное множество.

Это обозначений бесконечное количество. А элементов два.

Смысл "плодить" обозначения?

[Joker_vD]

Eugeniy в сообщении #901049 писал(а):

Смысл "плодить" обозначения?

Скажите, а наличие двух различных обозначений $x^2$ и $x\cdot x$ для одного и того же вас не беспокоит? Что $1+1$ и $2$ — два различных обозначения одного и того же?

[Eugeniy]

Joker_vD в сообщении #901051 писал(а):

Скажите, а наличие двух различных обозначений $x^2$ и $x\cdot x$ для одного и того же вас не беспокоит? Что $1+1$ и $2$ — два различных обозначения одного и того же?

Как бы Вам сказать... в Ваших обозначениях "одного и того же" фигурируют некие операции: $+$ и $\times $. То есть с чистой совестью можно записать: $1+1 = 2$, например. И это не просто обозначение одного и того же. Это всегда бинарная операция над элементами $1$ и $1$, результат которой - другой элемент - $2$. А не просто равенство $2 = 4$, например.
А теперь представьте, что и впрямь $2 = 4$. Не ассоциируйте это с вычетами и не приводите примеров с классами вычетов, когда $[2] = [4]$. Представьте, что в кольце целых чисел $2 = 4$. Тогда $1+1 = 2 = 4$. Отсюда вытекают всякие бессмыслицы. Например. Так как $1 + 1 = 2 = 4$, то $1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 = 4 = 2$. Тогда $2 + 2 = 2$. Нормальное равенство? Что дальше из него должно следовать $2 = 2 = 0$?
Сдается мне, именно поэтому, Гаусс, вводя сравнение, отказался от знака равенства в нем. То есть $[3] = [1]$ на самом деле означает, что $3\equiv 1 \pmod {2}$, то есть $3\mod 2 = 1\mod 2$ и использовать для этого равенства разные обозначения на мой взгляд неправильно. То есть, как в Вашем примере "одного и того же" $1 + 1 = 2$ и никак иначе. Здесь в качестве отношения эквивалентности выступает равенство.
Вы можете "обозвать" класс вычетов как угодно, но ставить знак равенства между разными его обозначениями, по-моему, неправильно.

[popolznev]

Eugeniy в сообщении #901105 писал(а):

Представьте, что в кольце целых чисел $2 = 4$. (...) Отсюда вытекают всякие бессмыслицы.

Вопчем-то из ложного предположения всегда вытекают всякие бессмыслицы.