отображение класса вычетов [x]

[nnosipov]

Eugeniy в сообщении #900764 писал(а):

Будет Вам.

Ну, как хотите. Вам хотят помочь, а Вы почему-то ерепенитесь. Напрасно.

[Xaositect]

Eugeniy в сообщении #900770 писал(а):

Вам не кажется, что они сравнимы по модулю, а не равны?

Числа $1$ и $3$ в $\mathbb{Z}$ сравнимы по модулю $2$. Классы вычетов $[1]$ и $[3]$ в $\mathbb{Z}/(2)$ равны.

[Eugeniy]

Xaositect в сообщении #900763 писал(а):

В $\mathbb{Z}/(p)$ классы вычетов $[0], [1], [2], ..., [p - 1]$ - это все возможные классы вычетов.

Вот автор и хочет сказать, что только на это кольцо распространяется действие отображения.

-- 27.08.2014, 15:32 --

nnosipov в сообщении #900771 писал(а):

Eugeniy в сообщении #900764 писал(а):

Будет Вам.

Ну, как хотите. Вам хотят помочь, а Вы почему-то ерепенитесь. Напрасно.

Ладно.
Пусть p - целое положительное число. Все элементы кольца целых чисел разбиваются на классы эквивалентности или классы вычетов по модулю числа p. В каждом из классов вычетов все элементы (вычеты) сравнимы по модулю p, то есть имеют равные остатки от деления на p.
Вру?

[nnosipov]

Eugeniy в сообщении #900773 писал(а):

Пусть p - целое положительное число. Все элементы кольца целых чисел разбиваются на классы эквивалентности или классы вычетов по модулю числа p. В каждом из классов вычетов все элементы (вычеты) сравнимы по модулю p, то есть имеют равные остатки от деления на p.Вру?

Нет, не врёте. Но давайте на всякий случай явно выпишем (или скажем), из каких целых чисел состоит класс вычетов $[1] \in \mathbb{Z}/(2)$.

[Eugeniy]

nnosipov в сообщении #900780 писал(а):

Нет, не врёте. Но давайте на всякий случай явно выпишем (или скажем), из каких целых чисел состоит класс вычетов $[1] \in \mathbb{Z}/(2)$.

Иначе. Согласно теории делимости, любое целое число $a$ можно записать как $a = pq + r$, где $r$ - неотрицательный остаток от деления такой, что $r < p$. Числа с одинаковыми остатками $r$ - сравнимы по модулю $p$ и являются вычетами одного класса вычетов (или класса эквивалентности). Всего, согласно определению остатка может быт $r$ классов эквивалентности $[0], [1], [2], ..., [r - 1]$.
Принято класс вычетов обозначать наименьшим неотрицательным его представителем.
Класс вычетов $[1] \in \mathbb{Z}/(2)$ состоит из $..., -3, -1, 1, 3, 5, ...$

[nnosipov]

Eugeniy в сообщении #900782 писал(а):

Принято класс вычетов обозначать наименьшим неотрицательным его представителем.

А, вот, похоже, где собака порылась. Действительно, есть такое соглашение: в каждом классе вычетов взять, так сказать, самый естественный его представитель. Но если вернуться к многочленам, там в классе вычетов, состоящем уже из многочленов, есть столь же естественный способ выбрать одного из представителей?

-- Ср авг 27, 2014 19:54:21 --

Eugeniy в сообщении #900782 писал(а):

Класс вычетов $[1] \in \mathbb{Z}/(2)$ состоит из $..., -3, -1, 1, 3, 5, ...$

Окей, теперь вижу, что понимаете.

[Eugeniy]

nnosipov в сообщении #900785 писал(а):

Eugeniy в сообщении #900782 писал(а):

Принято класс вычетов обозначать наименьшим неотрицательным его представителем.

А, вот, похоже, где собака порылась. Действительно, есть такое соглашение: в каждом классе вычетов взять, так сказать, самый естественный его представитель. Но если вернуться к многочленам, там в классе вычетов, состоящем уже из многочленов, есть столь же естественный способ выбрать одного из представителей?

Есть, если учесть, что вычеты образованы по модулю нормированного многочлена.

-- 27.08.2014, 16:00 --

nnosipov в сообщении #900785 писал(а):

Окей, теперь вижу, что понимаете.

Спасибо. Писать долго просто. Говорил же - понимаю

[nnosipov]

Eugeniy в сообщении #900790 писал(а):

Есть, если учесть, что вычеты образованы по модулю нормированного многочлена.

Что это значит, расшифруйте. Вот класс вычетов $[r(x)]$ по модулю (пусть нормированного) многочлена $f(x)$. Каким условием определяется выбор многочлена $r(x)$?

[Eugeniy]

nnosipov в сообщении #900785 писал(а):

Eugeniy в сообщении #900782 писал(а):

Класс вычетов $[1] \in \mathbb{Z}/(2)$ состоит из $..., -3, -1, 1, 3, 5, ...$

Окей, теперь вижу, что понимаете.

Xaositect в сообщении #900772 писал(а):

Eugeniy в сообщении #900770 писал(а):

Вам не кажется, что они сравнимы по модулю, а не равны?

Числа $1$ и $3$ в $\mathbb{Z}$ сравнимы по модулю $2$. Классы вычетов $[1]$ и $[3]$ в $\mathbb{Z}/(2)$ равны.

nnosipov, вон коллеге объяснили бы лучше

[nnosipov]

Eugeniy в сообщении #900797 писал(а):

nnosipov, вон коллеге бы объяснили лучше

А я с коллегой согласен, ведь он говорит, что $[1]=[3]$ в $\mathbb{Z}/(2)$. Это абсолютно верно. Но об этом после, не отвлекайтесь.

[Eugeniy]

nnosipov в сообщении #900793 писал(а):

Eugeniy в сообщении #900790 писал(а):

Есть, если учесть, что вычеты образованы по модулю нормированного многочлена.

Что это значит, расшифруйте. Вот класс вычетов $[r(x)]$ по модулю (пусть нормированного) многочлена $f(x)$. Каким условием определяется выбор многочлена $r(x)$?

Многочлены также связаны соотношением деления. Обычно в качестве остатка принимают также нормированный многочлен. Тогда наименьший элемент класса вычетов многочленов - это наименьший его представитель, то есть многочлен наименьшей степени.
Вроде все правильно написал. Тороплюсь. Часа через два смогу спокойно написать, если что.

-- 27.08.2014, 16:19 --

nnosipov в сообщении #900801 писал(а):

Eugeniy в сообщении #900797 писал(а):

nnosipov, вон коллеге бы объяснили лучше

А я с коллегой согласен, ведь он говорит, что $[1]=[3]$ в $\mathbb{Z}/(2)$. Это абсолютно верно.

У вас не будет однозначности операций над классами вычетов в этом случае, как я понимаю. Например, $[1] + [2]$ равно одновременно и $[3]$ и $[1]$. Вы не сможете определить операции при таких обозначениях.

[nnosipov]

Eugeniy в сообщении #900804 писал(а):

то есть многочлен наименьшей степени.

Окей. Ну, вот после того, как правило выбора представителя класса оговорено явно (а именно, каждый класс вычетов $[r(x)]$ представлен остатком от деления на $f(x)$), уже можно говорить о корректности отображения $[r(x)] \mapsto r(x)$. А до этого момента --- просто нет отображения.

Вернёмся к равенству $[1]=[3]$ в $\mathbb{Z}/(2)$. Как я понял, в Вашем представлении классы вычетов в данном случае бывают только $[0]$ и $[1]$, а $[3]$ --- это вообще непонятно что. Так?

[Eugeniy]

nnosipov в сообщении #900806 писал(а):

Как я понял, в Вашем представлении классы вычетов в данном случае бывают только $[0]$ и $[1]$, а $[3]$ --- это вообще непонятно что. Так?

Так да не так. А в Вашем, стало быть, нормально, что $[1] + [2] = [3] = [1] = [5] = ...$

[nnosipov]

Eugeniy в сообщении #900804 писал(а):

Например, $[1] + [2]$ равно одновременно и $[3]$ и $[1]$.

И в чём проблема, если, перед тем, как складывать, мы будем считать, что $[1]=[3]$?

-- Ср авг 27, 2014 20:27:54 --

Eugeniy в сообщении #900810 писал(а):

А в Вашем, стало быть, нормально, что $[1] + [2] = [3] = [1] = [5] = ...$

В большом доме живут Петя, Вася и т.д. Почему весь дом должен представлять именно Петя?

В Глухове посмотрите ещё раз то место, где объясняется про отношение эквивалентности, классы эквивалентности и т.п. Оттуда всё растёт.

[Xaositect]

Eugeniy в сообщении #900810 писал(а):

Так да не так. А в Вашем, стало быть, нормально, что $[1] + [2] = [3] = [1] = [5] = ...$

Да, нормально.