[Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера

[Mysterious Light]

В Самарском рассмотрен только одномерный случай без потенциала.

(Оффтоп)

Если я правильно провёл рассчёты, то в уравнении $i \psi_t = \beta \left(\psi_{\bar{x}x} + \psi_{\bar{y}y}\right) + V\psi$ в правой части достаточно слагаемое $V\psi$ брать со следующего слоя, а конечно-разностный Лапласиан брать из уже просчитанного слоя. Тогда схема будет частично-неявной: в правой части будут значения из разных слоёв, но при этом схема становится очень красивой и удобной для счёта.

[Утундрий]

Ну, обобщите по непрерывности...

А если серьёзно, то основной вывод в том, что обязательно нужно использовать неявную схему. И, кстати, это не так больно как кажется. Пяти-шести итераций обычно оказывается достаточно.

[arseniiv]

Итераций чего? Если $\psi_t \mapsto c_1\psi^\mathrm{new} - с_2\psi$, то $\psi^\mathrm{new}$ нормально так выражается (для схемы Mysterious Light) через всё остальное! Или я не так понял его схему, и она должна основываться на описанной одномерной без потенциала? (Да, кто мне мешал уже посчитать это самому и посмотреть?)

[Утундрий]

arseniiv в сообщении #901027 писал(а):

Итераций чего?

Не хотите итерировать, решайте прогонкой...

[Munin]

Утундрий
Вы чего-то не поняли, они решают Mathematic-ой.

[arseniiv]

Скорее, я таки не понял, надо дождаться Mysterious Light.

-- Чт авг 28, 2014 16:42:33 --

Всё правильно, я недопонял.

[Утундрий]

Munin в сообщении #901203 писал(а):

они решают Mathematic-ой.

Причём тут форма молотка?

[Утундрий]

Признаться, я ожидал гораздо скорее увидеть здесь новых не разваливающихся картинок. Неужто Самарский настолько неудобочитаем?

[Munin]

Утундрий в сообщении #901301 писал(а):

Причём тут форма молотка?

При том, что вы советуете, с какой стороны взять ручку, а у них молоток с кнопкой, за ручку можно вообще не брать.

[Утундрий]

Munin в сообщении #901893 писал(а):

у них молоток с кнопкой, за ручку можно вообще не брать.

Риторический вопрос: результаты такого подхода видели?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #901863 писал(а):

Признаться, я ожидал гораздо скорее увидеть здесь новых не разваливающихся картинок. Неужто Самарский настолько неудобочитаем?

Чередую занятия. Вот потом наскочу снова, увидим результат. Надеюсь.

[Munin]

Утундрий в сообщении #901903 писал(а):

Риторический вопрос: результаты такого подхода видели? :D

Риторический ответ: да, вот даже в этой теме, красивые картинки получаются.

[Утундрий]

Картинки мне тоже нравятся. Если бы они ещё не обрывались на самом интересном месте...

Добавлю немного теории. Почему явная схема - плохо, а неявная наоборот хорошо? Рассмотрим простейшее уравнение данного типа

$$i\psi _{,t} + \psi _{,x^2 } = 0$$

где $\psi = \psi \left( {t,x} \right) \in \mathbb{C}$, $\left( {t,x} \right) \subset \mathbb{R}^2 $. И составим для него "очевидную" разностную схему

$$i\frac{{\psi ^{ + t} - \psi }}{\tau } + \frac{{\psi _{ + x} - 2\psi + \psi _{ - x} }}{{h^2 }} = 0$$

или, вводя число Куранта $\sigma \equiv {\tau \mathord{\left/ {\vphantom {\tau {h^2 }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {h^2 }}$

$$i\left( {\psi ^{ + t} - \psi } \right) + \sigma \left( {\psi _{ + x} - 2\psi + \psi _{ - x} } \right) = 0$$

Что можно сказать об устойчивости такой схемы? Уравнение линейно, стало быть возмущение $\psi $ удовлетворяет тому же самому уравнению, что и сама $\psi $. Итак, выходит что наша $\psi $ должна со временем затухать (или хотя бы не возрастать). Рассмотрим одну периодическую моду, для которой

$$\psi ^{ + t} = \rho \psi ,\quad \psi _{ \pm x} = e^{ \pm i\kappa } \psi $$

Подставив это в наше основное уравнение, получим

$$\left| \rho \right|^2 = 1 + 16\sigma ^2 q^4 $$

где $q \equiv \sin {\kappa \mathord{\left/ {\vphantom {\kappa 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}$. Как видно, схема абсолютно неустойчива.

Но не будем спешить её выбрасывать. Такая абсолютная непригодность на дороге не валяется. Просто немного подумаем и определим сей позорный недуг в подвиг - просто изменив ход времени. Действительно, раз она в будущее расходится, то в прошлое должна наоборот сходиться. Только нужно, чтобы уравнение $T$-инверсию выдерживало. Оно и выдерживает, только с дополнительным комплексным сопряжением. Осталось заметить, что комплексное сопряжение никак не влияет на устойчивость и новая (на сей раз абсолютно устойчивая) схема готова

$$i\left( {\psi - \psi ^{ - t} } \right) + \sigma \left( {\psi _{ + x} - 2\psi + \psi _{ - x} } \right) = 0$$

Она, конечно, не оптимальна по аппроксимации, но хотя бы не расходится.

[Munin]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #902117 писал(а):

Почему явная схема - плохо, а неявная наоборот хорошо?

Да это все и так знают: одна сыплется, другая нет...

А... Красивая аргументация, надо будет запомнить.

[Mysterious Light]

Утундрий, красивые рассуждения.

А я перевернул страницу Самарского и играюсь со схемой

$$i(\psi^{+t} - \psi^{-t}) = \sigma \Lambda \psi^{t}.$$

Однако, картинок даже близких к Xaositect за обозримое время (до часа) не получаю...
Проблема с параметрами.
Тут ещё такое дело имеется: движение выражается наличием колебаний $\exp(i \vec{k} \vec{r})$, поэтому дискретизация по пространству должна быть достаточно детальной.
Поскольку чувство собственного достоинства уничижено, я выхожу из темы до получения красивых картиночек.