2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение27.08.2014, 17:51 
Аватара пользователя
В Самарском рассмотрен только одномерный случай без потенциала.

(Оффтоп)

Если я правильно провёл рассчёты, то в уравнении $i \psi_t = \beta \left(\psi_{\bar{x}x} + \psi_{\bar{y}y}\right) + V\psi$ в правой части достаточно слагаемое $V\psi$ брать со следующего слоя, а конечно-разностный Лапласиан брать из уже просчитанного слоя. Тогда схема будет частично-неявной: в правой части будут значения из разных слоёв, но при этом схема становится очень красивой и удобной для счёта.

 
 
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение27.08.2014, 17:55 
Аватара пользователя
Ну, обобщите по непрерывности... :mrgreen:

А если серьёзно, то основной вывод в том, что обязательно нужно использовать неявную схему. И, кстати, это не так больно как кажется. Пяти-шести итераций обычно оказывается достаточно.

 
 
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение27.08.2014, 22:28 
Итераций чего? Если $\psi_t \mapsto c_1\psi^\mathrm{new} - с_2\psi$, то $\psi^\mathrm{new}$ нормально так выражается (для схемы Mysterious Light) через всё остальное! :? Или я не так понял его схему, и она должна основываться на описанной одномерной без потенциала? (Да, кто мне мешал уже посчитать это самому и посмотреть?)

 
 
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение28.08.2014, 00:25 
Аватара пользователя
arseniiv в сообщении #901027 писал(а):
Итераций чего?

Не хотите итерировать, решайте прогонкой...

 
 
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение28.08.2014, 13:06 
Аватара пользователя
Утундрий
Вы чего-то не поняли, они решают Mathematic-ой.

 
 
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение28.08.2014, 13:17 
Скорее, я таки не понял, надо дождаться Mysterious Light.

-- Чт авг 28, 2014 16:42:33 --

Всё правильно, я недопонял.

 
 
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение28.08.2014, 16:07 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #901203 писал(а):
они решают Mathematic-ой.

Причём тут форма молотка?

 
 
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение29.08.2014, 20:53 
Аватара пользователя
Признаться, я ожидал гораздо скорее увидеть здесь новых не разваливающихся картинок. Неужто Самарский настолько неудобочитаем?

 
 
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение29.08.2014, 22:15 
Аватара пользователя
Утундрий в сообщении #901301 писал(а):
Причём тут форма молотка?

При том, что вы советуете, с какой стороны взять ручку, а у них молоток с кнопкой, за ручку можно вообще не брать.

 
 
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение29.08.2014, 22:54 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #901893 писал(а):
у них молоток с кнопкой, за ручку можно вообще не брать.

Риторический вопрос: результаты такого подхода видели? :D

 
 
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение30.08.2014, 00:47 

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #901863 писал(а):
Признаться, я ожидал гораздо скорее увидеть здесь новых не разваливающихся картинок. Неужто Самарский настолько неудобочитаем?
Чередую занятия. :roll: Вот потом наскочу снова, увидим результат. Надеюсь.

 
 
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение30.08.2014, 09:07 
Аватара пользователя
Утундрий в сообщении #901903 писал(а):
Риторический вопрос: результаты такого подхода видели? :D

Риторический ответ: да, вот даже в этой теме, красивые картинки получаются.

 
 
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение30.08.2014, 15:57 
Аватара пользователя
Картинки мне тоже нравятся. Если бы они ещё не обрывались на самом интересном месте...

Добавлю немного теории. Почему явная схема - плохо, а неявная наоборот хорошо? Рассмотрим простейшее уравнение данного типа
$$i\psi _{,t}  + \psi _{,x^2 }  = 0$$
где $\psi  = \psi \left( {t,x} \right) \in \mathbb{C}$, $\left( {t,x} \right) \subset \mathbb{R}^2 $. И составим для него "очевидную" разностную схему
$$i\frac{{\psi ^{ + t}  - \psi }}{\tau } + \frac{{\psi _{ + x}  - 2\psi  + \psi _{ - x} }}{{h^2 }} = 0$$
или, вводя число Куранта $\sigma  \equiv {\tau  \mathord{\left/ {\vphantom {\tau  {h^2 }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {h^2 }}$
$$i\left( {\psi ^{ + t}  - \psi } \right) + \sigma \left( {\psi _{ + x}  - 2\psi  + \psi _{ - x} } \right) = 0$$
Что можно сказать об устойчивости такой схемы? Уравнение линейно, стало быть возмущение $\psi $ удовлетворяет тому же самому уравнению, что и сама $\psi $. Итак, выходит что наша $\psi $ должна со временем затухать (или хотя бы не возрастать). Рассмотрим одну периодическую моду, для которой
$$\psi ^{ + t}  = \rho \psi ,\quad \psi _{ \pm x}  = e^{ \pm i\kappa } \psi $$
Подставив это в наше основное уравнение, получим
$$\left| \rho  \right|^2  = 1 + 16\sigma ^2 q^4 $$
где $q \equiv \sin {\kappa  \mathord{\left/ {\vphantom {\kappa  2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}$. Как видно, схема абсолютно неустойчива.

Но не будем спешить её выбрасывать. Такая абсолютная непригодность на дороге не валяется. Просто немного подумаем и определим сей позорный недуг в подвиг - просто изменив ход времени. Действительно, раз она в будущее расходится, то в прошлое должна наоборот сходиться. Только нужно, чтобы уравнение $T$-инверсию выдерживало. Оно и выдерживает, только с дополнительным комплексным сопряжением. Осталось заметить, что комплексное сопряжение никак не влияет на устойчивость и новая (на сей раз абсолютно устойчивая) схема готова
$$i\left( {\psi  - \psi ^{ - t} } \right) + \sigma \left( {\psi _{ + x}  - 2\psi  + \psi _{ - x} } \right) = 0$$
Она, конечно, не оптимальна по аппроксимации, но хотя бы не расходится.

 
 
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение30.08.2014, 16:20 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #902117 писал(а):
Почему явная схема - плохо, а неявная наоборот хорошо?

Да это все и так знают: одна сыплется, другая нет...

А... Красивая аргументация, надо будет запомнить.

 
 
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение30.08.2014, 20:29 
Аватара пользователя
Утундрий, красивые рассуждения.

А я перевернул страницу Самарского и играюсь со схемой $$i(\psi^{+t} - \psi^{-t}) = \sigma \Lambda \psi^{t}.$$
Однако, картинок даже близких к Xaositect за обозримое время (до часа) не получаю...
Проблема с параметрами.
Тут ещё такое дело имеется: движение выражается наличием колебаний $\exp(i \vec{k} \vec{r})$, поэтому дискретизация по пространству должна быть достаточно детальной.
Поскольку чувство собственного достоинства уничижено, я выхожу из темы до получения красивых картиночек.

 
 
 [ Сообщений: 75 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group