2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение27.08.2014, 17:51 
Аватара пользователя


29/05/11
227
Красноармейск, Донецкая обл.
В Самарском рассмотрен только одномерный случай без потенциала.

(Оффтоп)

Если я правильно провёл рассчёты, то в уравнении $i \psi_t = \beta \left(\psi_{\bar{x}x} + \psi_{\bar{y}y}\right) + V\psi$ в правой части достаточно слагаемое $V\psi$ брать со следующего слоя, а конечно-разностный Лапласиан брать из уже просчитанного слоя. Тогда схема будет частично-неявной: в правой части будут значения из разных слоёв, но при этом схема становится очень красивой и удобной для счёта.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение27.08.2014, 17:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Ну, обобщите по непрерывности... :mrgreen:

А если серьёзно, то основной вывод в том, что обязательно нужно использовать неявную схему. И, кстати, это не так больно как кажется. Пяти-шести итераций обычно оказывается достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение27.08.2014, 22:28 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Итераций чего? Если $\psi_t \mapsto c_1\psi^\mathrm{new} - с_2\psi$, то $\psi^\mathrm{new}$ нормально так выражается (для схемы Mysterious Light) через всё остальное! :? Или я не так понял его схему, и она должна основываться на описанной одномерной без потенциала? (Да, кто мне мешал уже посчитать это самому и посмотреть?)

 Профиль  
                  
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение28.08.2014, 00:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
arseniiv в сообщении #901027 писал(а):
Итераций чего?

Не хотите итерировать, решайте прогонкой...

 Профиль  
                  
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение28.08.2014, 13:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Утундрий
Вы чего-то не поняли, они решают Mathematic-ой.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение28.08.2014, 13:17 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Скорее, я таки не понял, надо дождаться Mysterious Light.

-- Чт авг 28, 2014 16:42:33 --

Всё правильно, я недопонял.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение28.08.2014, 16:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Munin в сообщении #901203 писал(а):
они решают Mathematic-ой.

Причём тут форма молотка?

 Профиль  
                  
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение29.08.2014, 20:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Признаться, я ожидал гораздо скорее увидеть здесь новых не разваливающихся картинок. Неужто Самарский настолько неудобочитаем?

 Профиль  
                  
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение29.08.2014, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Утундрий в сообщении #901301 писал(а):
Причём тут форма молотка?

При том, что вы советуете, с какой стороны взять ручку, а у них молоток с кнопкой, за ручку можно вообще не брать.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение29.08.2014, 22:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Munin в сообщении #901893 писал(а):
у них молоток с кнопкой, за ручку можно вообще не брать.

Риторический вопрос: результаты такого подхода видели? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение30.08.2014, 00:47 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #901863 писал(а):
Признаться, я ожидал гораздо скорее увидеть здесь новых не разваливающихся картинок. Неужто Самарский настолько неудобочитаем?
Чередую занятия. :roll: Вот потом наскочу снова, увидим результат. Надеюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение30.08.2014, 09:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Утундрий в сообщении #901903 писал(а):
Риторический вопрос: результаты такого подхода видели? :D

Риторический ответ: да, вот даже в этой теме, красивые картинки получаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение30.08.2014, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Картинки мне тоже нравятся. Если бы они ещё не обрывались на самом интересном месте...

Добавлю немного теории. Почему явная схема - плохо, а неявная наоборот хорошо? Рассмотрим простейшее уравнение данного типа
$$i\psi _{,t}  + \psi _{,x^2 }  = 0$$
где $\psi  = \psi \left( {t,x} \right) \in \mathbb{C}$, $\left( {t,x} \right) \subset \mathbb{R}^2 $. И составим для него "очевидную" разностную схему
$$i\frac{{\psi ^{ + t}  - \psi }}{\tau } + \frac{{\psi _{ + x}  - 2\psi  + \psi _{ - x} }}{{h^2 }} = 0$$
или, вводя число Куранта $\sigma  \equiv {\tau  \mathord{\left/ {\vphantom {\tau  {h^2 }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {h^2 }}$
$$i\left( {\psi ^{ + t}  - \psi } \right) + \sigma \left( {\psi _{ + x}  - 2\psi  + \psi _{ - x} } \right) = 0$$
Что можно сказать об устойчивости такой схемы? Уравнение линейно, стало быть возмущение $\psi $ удовлетворяет тому же самому уравнению, что и сама $\psi $. Итак, выходит что наша $\psi $ должна со временем затухать (или хотя бы не возрастать). Рассмотрим одну периодическую моду, для которой
$$\psi ^{ + t}  = \rho \psi ,\quad \psi _{ \pm x}  = e^{ \pm i\kappa } \psi $$
Подставив это в наше основное уравнение, получим
$$\left| \rho  \right|^2  = 1 + 16\sigma ^2 q^4 $$
где $q \equiv \sin {\kappa  \mathord{\left/ {\vphantom {\kappa  2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}$. Как видно, схема абсолютно неустойчива.

Но не будем спешить её выбрасывать. Такая абсолютная непригодность на дороге не валяется. Просто немного подумаем и определим сей позорный недуг в подвиг - просто изменив ход времени. Действительно, раз она в будущее расходится, то в прошлое должна наоборот сходиться. Только нужно, чтобы уравнение $T$-инверсию выдерживало. Оно и выдерживает, только с дополнительным комплексным сопряжением. Осталось заметить, что комплексное сопряжение никак не влияет на устойчивость и новая (на сей раз абсолютно устойчивая) схема готова
$$i\left( {\psi  - \psi ^{ - t} } \right) + \sigma \left( {\psi _{ + x}  - 2\psi  + \psi _{ - x} } \right) = 0$$
Она, конечно, не оптимальна по аппроксимации, но хотя бы не расходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение30.08.2014, 16:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #902117 писал(а):
Почему явная схема - плохо, а неявная наоборот хорошо?

Да это все и так знают: одна сыплется, другая нет...

А... Красивая аргументация, надо будет запомнить.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Mathematica 8] Оптимизация модели ур-я Шрёдингера
Сообщение30.08.2014, 20:29 
Аватара пользователя


29/05/11
227
Красноармейск, Донецкая обл.
Утундрий, красивые рассуждения.

А я перевернул страницу Самарского и играюсь со схемой $$i(\psi^{+t} - \psi^{-t}) = \sigma \Lambda \psi^{t}.$$
Однако, картинок даже близких к Xaositect за обозримое время (до часа) не получаю...
Проблема с параметрами.
Тут ещё такое дело имеется: движение выражается наличием колебаний $\exp(i \vec{k} \vec{r})$, поэтому дискретизация по пространству должна быть достаточно детальной.
Поскольку чувство собственного достоинства уничижено, я выхожу из темы до получения красивых картиночек.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 75 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Karan, Toucan, PAV, maxal, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group