Биекция окружности в плоскость с выколотой точкой

[alcoholist]

Munin в сообщении #900238 писал(а):

Постройте эту группу в явном виде

ТС'у не нужна группа, нужна некоммутативность... это же явно проще

_Er в сообщении #900180 писал(а):

Я имел в виду простое и строгое одновременно

увы

[Munin]

alcoholist в сообщении #900239 писал(а):

ТС'у не нужна группа, нужна некоммутативность... это же явно проще

Думаю, на его уровне, проще построить группу и убедиться, что она некоммутативна.

[_Er]

Munin в сообщении #900238 писал(а):

Постройте эту группу в явном виде.

Мне кажется, что для того чтобы это сделать мне нужно точно знать какие пути здесь гомотопны, а какие нет. Я бы строил эту группу следующим образом. Пусть $a$ – путь по левой окружности против ч\с, $b$ – путь по правой против ч\с, а $a^{-1}$ и $b^{-1}$ – те же пути, только по ч\с. Любое отображение $f$ на эту связку из окружностей можно задать некоторой последовательностью этих четырех элементов вида $(e_1,e_2,...e_n)$. Например, $(a,b^{-1})$ – путь при котором сначала проходится левая против ч\с, а затем правая по ч\с (т.е. фактически это просто $a*b^{-1}$). Дальше вопрос в том, какие из этих путей гомотопны. Например, гомотопны ли пути $(a,b)$ и $(b,a)$? Получается, для построения фундаментальной группы здесь уже нужно будет предварительно показать ее некоммутативность.
Или может вы имели в виду какой-то иной способ построить эту группу?

[Munin]

_Er в сообщении #900284 писал(а):

Дальше вопрос в том, какие из этих путей гомотопны. Например, гомотопны ли пути $(a,b)$ и $(b,a)$?

Ну и разберитесь в этом геометрическими рассуждениями.

[_Er]

Munin в сообщении #900325 писал(а):

_Er в сообщении #900284 писал(а):

Дальше вопрос в том, какие из этих путей гомотопны. Например, гомотопны ли пути $(a,b)$ и $(b,a)$?

Ну и разберитесь в этом геометрическими рассуждениями.

Ну так в этом ведь вся проблема и состоит. Может кто-нибудь хоть какую-то идею подскажет, как геометрическими рассуждениями это разрулить? А то я что-то даже не представляю, с какой стороны к этому делу подойти можно.

[Munin]

Вам подсказали: представьте себе гвоздики и ниточки. Что такое вообще фундаментальная группа, знаете?

[_Er]

Munin в сообщении #900468 писал(а):

Вам подсказали: представьте себе гвоздики и ниточки.

Может я, конечно, чего-то не понимаю, но то, что там говорилось о гвоздях с нитками – это абсолютно то же самое, что и пример с парой окружностей. Как гвозди с нитками помогут построить строгое обоснование я не понимаю.

Munin в сообщении #900468 писал(а):

Что такое вообще фундаментальная группа, знаете?

$\pi_1(X,x_0)$ – множество гомотопических классов отображений отрезка [0,1] в $X$, при которых начало и конец отображаются в $x_0$.

[Munin]

_Er в сообщении #900473 писал(а):

Как гвозди с нитками помогут построить строгое обоснование я не понимаю.

Вам не нужно строгое обоснование, вам нужно группу посчитать.