Биекция окружности в плоскость с выколотой точкой

[_Er]

Всем привет!
Всем известно, что сфера $S^1$ (обозначим как просто $S$) гомотопически эквивалентна плоскости $\mathbb{R}^2 \textbackslash \{0\}$ (обозначим как $P$). Для того чтобы это показать нужно построить два отображения $h_1: S \to P, h_2: P \to S$ такие, что $h_1h_2: P \to P, h_2h_1: S \to S$ гомотопны тождественным отображениям. Если я не ошибаюсь, достаточно в качестве $h_1$ взять тождественное отображение (полагая, что $S \in P$), а в качестве $h_2$ взять отображение переводящее точку $(r,\varphi)$ в точку $(1,\varphi)$ (сфера $S$ единичного радиуса) $\forall r > 0$. При этом $h_2h_1=1$, и полагая $g_t: (r,\varphi) \longmapsto ((1-t)r+t,\varphi)$ (тогда $g_0=1, g_1=h_2h_1$) получим, что $h_2h_1\sim1$ и таким образом эквивалентность $S^1\sim{R}^2 \textbackslash \{0\}$ показана.

В ходе решения этой задачи у меня возник другой вопрос. Можно ли каким-нибудь образом задать биекцию $f: S \to P$?

У меня здесь в принципе две идеи. Обе проблемные.

1. Отображение $f: (1,\varphi) \longmapsto (-\ln \left[1-\frac{\varphi }{2 \pi }\right],\lambda \varphi)$. В пределе, при $\lambda \to \infty$ будет заполнена вся плоскость. Для примера вот два графика для различных $\lambda$.
Во-первых, здесь "начало" окружности отображается в начало координат, а "конец" в бесконечность, т.е. отображение в этой точке разрывно. Во вторых, то, что у начала координат есть прообраз, уже само по себе проблема.


2. Рассмотрим движение массивной точки в центральном поле. Подбирая параметры системы определенным образом можно добиться того, что, во-первых, область, в которой движение разрешено, будет иметь две границы $r_\max$ и $r_\min$, и, во-вторых, за время, в течение которого $r$ изменяется от $r_\max$ до $r_\min$ и обратно до $r_\max$, радиус-вектор повернется на угол $\Delta\varphi$ не равный рациональной части от $2\pi$. Тогда траектория движения будет незамкнута и за бесконечное время заполнит все пространство между $r_\max$ и $r_\min$ (см. рисунок). Таким образом можно задать биекцию между полупрямой $\left[0,\infty\right)$ и кольцом (с границами). Между кольцом (только вот уже без границ) и плоскостью с выколотым началом можно задать биекцию очевидным образом (отображение почти такое же как в пункте 1 для $r$).
Здесь снова те же проблемы. Во-первых, проблема в том, что отображение окружности в кольцо затрагивает границы кольца. Во-вторых, опять же начало и конец окружности отображаются вообще говоря в разные точки. Вот если бы, например, $\Delta\varphi$ было бесконечно малой рациональной частью от $2\pi$, то в пределе траектория замкнулась бы через бесконечное время. Но это тоже не вариант.


В общем, такие вот помидоры. Буду рад любым идеям! :)

[popolznev]

Почитайте ради интереса про кривую Пеано. Это не то чтобы даст ответ на ваш вопрос, но тема близкая.

[Someone]

_Er в сообщении #899639 писал(а):

Можно ли каким-нибудь образом задать биекцию $f: S \to P$?

Какую-нибудь биекцию можно, потому что мощности одинаковые. Непрерывную биекцию нельзя, потому что непрерывная биекция компакта на хаусдорфово пространство есть гомеоморфизм, а пространства $S$ и $P$ не гомеоморфны ($S$ компактно и одномерно, $P$ не компактно и двумерно).

_Er в сообщении #899639 писал(а):

Тогда траектория движения будет незамкнута и за бесконечное время заполнит все пространство между $r_\max$ и $r_\min$ (см. рисунок). Таким образом можно задать биекцию между полупрямой $\left[0,\infty\right)$ и кольцом (с границами).

Это не биекция. Вы определение биекции знаете? Сформулируйте, пожалуйста.
Кстати, просто непрерывного отображения $S$ на всё $P$ тоже нет, поскольку непрерывный образ компактного пространства тоже компактен.

_Er в сообщении #899639 писал(а):

полагая, что $S \in P$

Вероятно, опечатка. Должно быть $S\subset P$ или $S\subseteq P$).

[_Er]

Someone в сообщении #899665 писал(а):

Какую-нибудь биекцию можно, потому что мощности одинаковые.

Может быть вы можете привести пример?

Someone в сообщении #899665 писал(а):

Это не биекция.

Да, вы правы. Как-то я проглядел этот момент. В данном случае это сюръекция. Видно из того же графика.

Someone в сообщении #899665 писал(а):

Кстати, просто непрерывного отображения $S$ на всё $P$ тоже нет, поскольку непрерывный образ компактного пространства тоже компактен.

Интересно. Я как бы в топологии в принципе практически ничего не знаю, и с этими задачами столкнулся читая книгу по физике. Но мне кажется что вариант $S \to \text{кольцо} \to (\text{почти } P)$ был довольно близок. Вся проблема в границах кольца и в том что "конец" и "начало" окружности отображаются неизвестно куда (в смысле не в одну и ту же точку).
Еще один момент. Говоря об отображениях $f$ окружности куда-либо, можно вместо окружности $S^1$ рассматривать отрезок [0,1], полагая что $f(0)=f(1)$. Почему нельзя рассматривать полуинтервал [0,1) полагая, что $\lim_{t \to 1}f(t)=f(0)$?

(Оффтоп)

Как $t \to 1$ записать под пределом?

Someone в сообщении #899665 писал(а):

Должно быть $S\subset P$

Верно, опечатка.

[Aritaborian]

(Правильная запись пределов)

_Er в сообщении #899811 писал(а):

Как $t \to 1$ записать под пределом?

Вот так: \lim \limits _{t \to 1} f(t).

[_Er]

(Оффтоп)

Немного странно. Почему бы не сделать просто \lim_{t \to 1}... Может быть кто-нибудь может привести пример такого использования \lim и \limits, где их нельзя было бы объединить в один \lim ? Интересно просто, зачем такая конструкция.

Someone, полагаю, вы неплохо разбираетесь в топологии. Не могли бы вы привести какой-нибудь простой пример топологического пространства с некоммутативной фундаментальной группой? Вообще произведение $f*g$ путей вводится как путь, при котором сначала проходится $g$, а затем $f$. На интуитивном уровне кажется, что пути, отличающиеся порядком прохождения путей $f,g$, не могут не быть гомотопными.
Я видел тут на форуме, кажется, обсуждалась эта тема, но там сразу речь пошла о каких-то узлах и группах симметрий правильного треугольника. Хотел бы услышать пример попроще, если возможно :)

[Aritaborian]

(Про ТеХ)

Вы, вижу, пока слабо разбираетесь в ТеХе. Дело в том, что символ \limits используется не только совместно с символом \lim, но и с другими операторами: суммы, произведения, объединения, пересечения... Пример: $\sum \limits _{n=1} ^\infty \frac{1}{2^n}$ (наведите указатель мыши на формулу, чтобы увидеть исходный текст в ТеХе).

[Someone]

_Er в сообщении #899811 писал(а):

Может быть вы можете привести пример?

Аккуратное построение довольно канительно, но идею можно посмотреть здесь: эквивалентность прямой и плоскости.

_Er в сообщении #899811 писал(а):

мне кажется что вариант $S \to \text{кольцо} \to (\text{почти } P)$ был довольно близок

"Почти" не считается.

_Er в сообщении #899811 писал(а):

Вся проблема в границах кольца и в том что "конец" и "начало" окружности отображаются неизвестно куда (в смысле не в одну и ту же точку).

Ну, проблему с "концом" и "началом" можно решать двумя способами: а) в процессе построения позаботиться о том, чтобы они отобразились в одну точку; б) сплющить окружность в отрезок и работать с отрезком.

_Er в сообщении #899811 писал(а):

Говоря об отображениях $f$ окружности куда-либо, можно вместо окружности $S^1$ рассматривать отрезок [0,1], полагая что $f(0)=f(1)$. Почему нельзя рассматривать полуинтервал [0,1) полагая, что $\lim_{t \to 1}f(t)=f(0)$?

Можно. Это одно и то же, различия чисто технические.

А вот полуинтервал можно непрерывно отобразить и на всю плоскость, и на ваше $P$. Но не взаимно однозначно.

_Er в сообщении #899832 писал(а):

Не могли бы вы привести какой-нибудь простой пример топологического пространства с некоммутативной фундаментальной группой?

Букет из двух окружностей.

$$\begin{xy}/r1cm/:; (0,0)*+{\bullet}; (-1,0)*\xycircle(1,1){-};(1,0)*\xycircle(1,1){-}; \end{xy}$$

[_Er]

Someone в сообщении #899843 писал(а):

Букет из двух окружностей.

Не совсем понимаю как строго обосновать, что здесь $f*g$ нельзя непрерывно продеформировать в $g*f$. Ну или, например, что путь по левой окружности нельзя непрерывно продеформировать в путь по правой. Интуитивно это понятно, но как строго объяснить не знаю. Может быть можно связать это дело с числом наматываний. Если, например, $f$ – путь чисто по левой окружности, то он характеризуется парой чисел наматываний (1,0) по двум окружностям. Так как эти числа дискретны, то они не могут меняться при непрерывных преобразованиях путей. Пути по правой окружности соответствует пара (0,1).
Хотя, мне кажется, можно привести пример дискретного параметра характеризующего что-то, меняющегося при непрерывных преобразованиях. Например, целая часть числа $\left[x\right]$. Насколько я понимаю, в нашем случае с путями такое все-таки невозможно. Только вот не совсем понимаю почему...

А идея с эквивалентностью прямой и плоскости интересная.

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #899840 писал(а):

Вы, вижу, пока слабо разбираетесь в ТеХе.

Все верно :) Благодарю за разъяснения!

[Someone]

(_Er)

_Er в сообщении #899832 писал(а):

Немного странно. Почему бы не сделать просто \lim_{t \to 1}... Может быть кто-нибудь может привести пример такого использования \lim и \limits, где их нельзя было бы объединить в один \lim ? Интересно просто, зачем такая конструкция.

Дело в том, что по типографским соображениям $t\to 1$ в одних случаях пишется под знаком предела (например, в формуле, вынесенной в отдельную строку), а в других — сбоку (например, в формуле, находящейся внутри строки с текстом). А \TeX — это не текстовый редактор для математиков и вообще не редактор, а издательская система.

_Er в сообщении #899903 писал(а):

Если, например, $f$ – путь чисто по левой окружности, то он характеризуется парой чисел наматываний (1,0) по двум окружностям.

К сожалению, не характеризуется. Потому группа и не коммутативная.
Если обозначить $a$ и $b$ обходы по левой и правой окружности, то для коммутативности должно выполняться равенство $aba^{-1}b^{-1}=e$, где $e$ — тривиальная петля. Доказательство того, что это равенство не выполняется, можно найти в § 7, пункт 3 книги

А.Т.Фоменко, Д.Б.Фукс. Курс гомотопической топологии. Москва, "Наука", 1989.

[_Er]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #899913 писал(а):

А \TeX — это не текстовый редактор для математиков

Вот этого, честно говоря не ожидал.

Someone в сообщении #899913 писал(а):

_Er в сообщении #899903 писал(а):

Если, например, $f$ – путь чисто по левой окружности, то он характеризуется парой чисел наматываний (1,0) по двум окружностям.

К сожалению, не характеризуется.

Поясните, пожалуйста, почему.

Доказательство из книги я что-то не понял...

[Munin]

(Оффтоп)

_Er в сообщении #899832 писал(а):

Интересно просто, зачем такая конструкция.

Такая конструкция вот зачем. В TeX-е различаются два варианта набора: в-строчные формулы (text style) и выключные формулы (display style). Для первого варианта, ограниченного единичными долларами, экономится высота, чтобы формула не раздвигала строки текста. Многие крупные символы выглядят мельче, числители и знаменатели набираются более мелким шрифтом, и в том числе символы с индексами - имеют свои индексы "хвостом сзади", а не сверху/снизу. Переключить это поведение в желаемое можно как раз постфиксами \limits и \nolimits. Заодно, по американской типографской традиции, знаки интеграла имеют пределы "хвостом сзади" даже в выключных формулах, и переключить их на отечественный вариант можно тем же \limits. И наконец, см. команды \dfrac, \tfrac, \textstyle, \displaystyle для дальнейшего управления этими различиями. Также, есть своё "масштабирование" и для скобок, но устроено оно по-другому, зависит не от выключного стиля, а от того, что в скобках, и включается явно по команде.

[Someone]

_Er в сообщении #899921 писал(а):

Доказательство из книги я что-то не понял...

Ну это же § 7, а перед ним ещё шесть параграфов, занимающих около полусотни страниц. Да плюс ещё предварительные сведения из общей топологии и алгебры…

_Er в сообщении #899921 писал(а):

Поясните, пожалуйста, почему.

А какой парой чисел Вы будете характеризовать петлю $aba^{-1}b^{-1}$?

[_Er]

Someone в сообщении #899935 писал(а):

А какой парой чисел Вы будете характеризовать петлю $aba^{-1}b^{-1}$

Блин. Получается, что (0,0), если так рассуждать.

Тем не менее, у меня есть предположение, что существует все-таки простой пример пространства с некоммутативной фундаментальной группой, который можно обосновать из элементарных соображений(т.е. таких, которые не требуют 50 страниц вводной информации). Аргумент в пользу этого предположения следующий: задача взята из книги Рубакова "Классические калибровочные поля", в которой дана лишь элементарная информация о топологии, да и то выборочно. Ну и в связи с этим я полагаю, что предлагая такую задачу Рубаков рассчитывал, что ее можно решить основываясь на тех сведениях, что приведены у него в книге.

(Оффтоп)

Обычно, когда я высказываю такое предположение с этой аргументацией, мне говорят "Ну хорошо. Сообщите, если найдете простое решение" и на этом обсуждение проблемы заканчивается.

[alcoholist]

_Er в сообщении #899951 писал(а):

Тем не менее, у меня есть предположение, что существует все-таки простой пример пространства с некоммутативной фундаментальной группой

вбейте в плоскость два гвоздя... Возьмите нитку... обмотайте сначала один, потом другой, потом первый в обратном направлении и второй в обратном... дерните за нитку...