Отождествление спектра и аффинной плоскости

[OlgaD]

Подскажите, пожалуйста, как строится отождествление спектра $\operatorname{Spec}k[x,y]$ и аффинной плоскости $\mathbb{A}^2_k$ ($k$ - алгебраически замкнутое поле)? Если я не путаю, $\operatorname{Spec}k[x,y]$ состоит не только из максимальных идеалов вида $(x-a,y-b),\;a,b\in k.$ И еще, что означает следующая фраза: если $U=D(x)\cup D(y)\in\operatorname{Spec} k[x,y],$ то тем самым $U$ - дополнение к началу координат. Здесь под $D(x),D(y)$ понимаются главные открытые множества спектра по элементам $x$ и $y$ соответственно.

[alcoholist]

аффинной... еще сдвиги

[OlgaD]

а поподробнее

[Xaositect]

alcoholist в сообщении #900213 писал(а):

аффинной... еще сдвиги

Это не та аффинная плоскость.

OlgaD в сообщении #900210 писал(а):

Если я не путаю, $\operatorname{Spec}k[x,y]$ состоит не только из максимальных идеалов вида $(x-a,y-b),\;a,b\in k.$

Верно. Там еще есть простые идеалы $(f)$ для каждого неприводимого многочлена и $(0)$. Но при этом замкнутым аффинным многообразиям $\mathbb{A}^2$ однозначно соответствуют аффинные подсхемы в $\operatorname{Spec}k[x,y]$: аффинному множеству $f(x, y) = 0$ ставится в соответствие множество максимальных идеалов, соответствующих точкам этого множества, плюс идеал $(f)$, который называется общей точкой.

[OlgaD]

Тогда как можно расшифровать фразу

OlgaD в сообщении #900210 писал(а):

И еще, что означает следующая фраза: если $U=D(x)\cup D(y)\in\operatorname{Spec} k[x,y],$ то тем самым $U$ - дополнение к началу координат. Здесь под $D(x),D(y)$ понимаются главные открытые множества спектра по элементам $x$ и $y$ соответственно.

Какое начало координат имеется тогда здесь в виду?

[Xaositect]

OlgaD в сообщении #900250 писал(а):

Какое начало координат имеется тогда здесь в виду?

Точка $(0,0)$ (то есть, соответствующий ей идеал $(x, y)$).

[OlgaD]

Xaositect в сообщении #900258 писал(а):

Точка $(0,0)$ (то есть, соответствующий ей идеал $(x, y)$).

Я об этом уже думала, но тогда дополнение до чего? Не до аффинной же плоскости?

[Xaositect]

OlgaD в сообщении #900368 писал(а):

Я об этом уже думала, но тогда дополнение до чего? Не до аффинной же плоскости?

А почему нет?

[OlgaD]

так мы же выше установили, что $\operatorname{Spec}k[x,y]$ не отождествляется с аффинной плоскостью$\mathbb{A}^2!$

[Xaositect]

Ну значит дополнение будет до спектра.

Но все равно от замены $\mathbb{A}^2$ на $\Spec k[x,y]$ мало что меняется, поэтому спектр тоже называют аффинной плоскостью. Утверждения, которые верны для общей точки $(f)\in \Spec k[x,y]$, верны для почти всех (в смысле топологии Зарисского) точек на многообразии $f = 0$ в $\mathbb{A}^2$. Поэтому существенно новой структуры не получается, утверждения можно аккуратно переносить между этими пространствами, хотя взаимно-однозначного соответствия точек нет.

[OlgaD]

В спектре нет начало координат. Поэтому говорилось о дополнении до аффинной плоскости.

Xaositect в сообщении #900246 писал(а):

Это не та аффинная плоскость.

А какая? Где об этом можно почитать?

[Xaositect]

OlgaD в сообщении #900563 писал(а):

В спектре нет начало координат. Поэтому говорилось о дополнении до аффинной плоскости.

Замкнутые точки спектра (т.е. максимальные идеалы) однозначно соответствуют точкам плоскости, и их отождествляют. Начало координат - это идеал $(x, y)$

-- Ср авг 27, 2014 13:29:52 --

OlgaD в сообщении #900563 писал(а):

А какая? Где об этом можно почитать?

post749221.html#p749221

[OlgaD]

Xaositect в сообщении #900654 писал(а):

post749221.html#p749221

Я не об аффинной плоскости как таковой, а о $\operatorname{Spec}k[x,y]\simeq\mathbb{A}^2_k$ с какой-то не такой аффинной плоскостью . Мне этот пример очень интересен. И вообще хочется научиться вычислять спектры колец.

[Xaositect]

Я там отвечал alcoholist, он явно имел в виду что-то не то.


По поводу $\mathop{\mathrm{Spec}} k[x,y]$. Давайте поподробнее. Я не специалист, но попробую объяснить.

Аффинная плоскость как аффинное многообразие и схема $\mathop{\mathrm{Spec}} k[x,y]$ - это разные по сути объекты, поэтому говорить об изоморфизме тут просто так нельзя.
Но если мы рассмотрим категорию аффинных многообразий и категорию аффинных схем, то окажется, что первая вложена во вторую, то есть каждому многообразию соответствует некоторая схема (а именно, спектр его координатного кольца) так, что взаимоотношения между многообразиями такие же, как и взаимоотношения между соответсвующими им схемами. Поэтому, когда мы говорим в терминах схем, то мы называем аффинной плокостью $\mathop{\mathrm{Spec}} k[x,y]$.
То есть, переход от многообразий к схемам не меняет ничего, если мы говорим только о многообразиях, но позволяет использовать схемы для каких-то новых рассуждений, в том числе, может быть, для упрощения доказательств и обобщения их на другие области.
Это соответствие можно выразить и на уровне самих объектов. Точки аффинного многообразия соответствуют максимальным идеалам координатного кольца, т.е. замкнутым точкам его спектра, а "лишние" точки спектра соответствуют неприводимым аффинным подмногообразиям. Они называются общими точками. Замыкание общей точки содержит все замкнутые точки, лежащие на этом подмногообразии, и общую точку часто можно представлять как неуказанную "типичную" точку на многообразии. Например, тот факт, что в аффинной плоскости общая точка $(x)$ не содержится в замыкании $\overline{(y)}$ можно интерпретировать как то, что "типичная" точка на оси абсцисс не лежит на оси ординат.

[OlgaD]

Слегка для меня туманно, но попробую переварить.

Представление об общих точках у меня сложилось такое: общая точка - это всюду плотная точка спектра, замыкание которой есть весь спектр. Неприводимость спектра равносильная существованию общей точки. Общая точка всегда единственна (в силу того, что спектральная топология удовлетворяет аксиоме отделимости $T_0$). Поскольку любое замкнутое подмножество спектра гомеоморфно спектру другого кольца, то неприводимость такого подмножества влечет за собой существование общей точки, замыкание которой есть это подмногообразие. "Лишние точки" - это немаксимальные простые идеалы? У Вас выходит, что общих точек множество?