Научите понимать косинус

[bigarcus]

посмотрел я ваш спойлер, посмотрел

про теорему Пифагора по Тао. там оказывается нужно сначала доказать теорему о том что площади подобных треугольников относятся как квадрат коэфф. подобия. доказал вроде. но сильно дальше не смотрел.

вектора из (0,...,0) которые идут радиус-векторами называются. (а то называли тут только свободные вектора и иеще какие-то)

а вот есть несколько векторов. проверить их на лин. зав-сть - это показать что определитель их равен нулю я прочитал
а этот определитель говорят имеет геом. идею типа какой-то объем натянутый на вектора. поясните, пожалуйста что имеется в виду
а то он вычисляется не пойми как, правило звездочки выглядит как с горы
мне сказали через миноры легче чем звездочка но идею все-равно не пойму

[Oleg Zubelevich]

Сюда же:
1) доказать, что множество многочленов является линейным пространством относительно сложения и умножения на число.
2) Доказать, что это пространство бесконечномерно.
3) является ли операция $(f,g)=\int_0^1f(x)g(x)dx$ скалярным произведением в этом пространстве?
является ли скалярным произведением операция $(f,g)=f(0)g(0)$?

-- Чт июл 25, 2013 16:34:53 --

а это специально для Munin-а

Рассмотрим линейное пространство функций $f(z)$ голоморфных в области $D\subseteq\mathbb{C},\quad z=x+iy$ и таких, что $|f|\in L^2(D)$. Доказать, что это гильбертово пространство относительно скалярного произведения $(f,g)=\int_Df\bar g dxdy$

[Munin]

bigarcus в сообщении #749137 писал(а):

вектора из (0,...,0) которые идут радиус-векторами называются. (а то называли тут только свободные вектора и иеще какие-то)

Ну, начался винегрет в голове.

Начните вот с чего. Запомните, что есть два разных пространства: евклидово пространство, и векторное пространство (оно же линейное пространство). (Как они называются - неважно; иногда векторное пространство с некоторыми уточнениями тоже называется евклидовым, но надо чётко понять различия по сути между этими двумя пространствами). Евклидово пространство можете представлять себе как лист бумаги. Векторное пространство - как лист бумаги с отмеченной точкой - началом координат.

В векторном пространстве есть только векторы. Они всегда начинаются в начале координат, и заканчиваются - в любом другом месте (в том числе, могут заканчиваться тоже в начале координат). Векторное пространство - это множество с введёнными на нём операциями, алгеброй векторов.

В евклидовом пространстве сложнее, изначально есть только точки. Ни одна из них не выделена по сравнению с другими. Но, если взять две точки, то между ними можно провести вектор. Этот вектор - будет элементом векторного пространства. И наоборот, вектор - элемент векторного пространства - можно отложить от заданной точки, и получить новую точку. С каждым евклидовым пространством сопоставлено векторное, такой же размерности. А вот векторное пространство самодостаточно, ему можно не вспоминать про евклидово.

Векторное пространство можно рассматривать как евклидово. Достаточно просто "мысленно стереть" начало координат, и воспринимать векторы как точки (это точки концов векторов). Векторы между двумя точками возвращают нас к тому же самому векторному пространству, а сама эта операция - разность векторов.

А чтобы евклидово пространство рассматривать как векторное, в нём нужно выбрать некую точку, и назначить её началом координат (причём это можно сделать неединственным способом, тогда у нас будет много систем координат в одном пространстве). Если это сделать, то каждую точку мы можем воспринимать как вектор - такой вектор называется радиус-вектором этой точки. При этом, мы получаем преимущество в виде более удобной алгебры векторов, с которой можем работать, и получать результаты. (Но надо быть осторожным: эти результаты всегда должны иметь смысл, даже если мы изменим выбор начала координат.)

-- 25.07.2013 18:17:50 --

bigarcus в сообщении #749137 писал(а):

а этот определитель говорят имеет геом. идею типа какой-то объем натянутый на вектора. поясните, пожалуйста что имеется в виду

Для начала, вам надо познакомиться с определителями в 2 и в 3 измерениях. В 2 измерениях, определитель - это площадь параллелограмма, стороны которого - два вектора, образующие строки определителя (или, эквивалентно, образующие столбцы определителя: картинка при этом будет другая, но площадь та же). Площадь берётся со знаком: если векторы идут в порядке против часовой стрелки (это положительное направление, "правое"), то берётся знак плюс, а если векторы идут по часовой стрелке, то берётся знак минус.

В 3 измерениях, определитель - это объём параллелепипеда, три ребра которого - это три вектора, образующие строки (или столбцы) определителя. Опять со знаком: если векторы образуют правую тройку, то знак плюс, а если левую, то знак минус. Напомню, правая тройка векторов - это такая, как большой, указательный и средний пальцы на вашей правой руке :-)

Заметьте, каждый раз в $n$-мерном пространстве берётся $n$ векторов, и соответственно, $n$-мерный объём. Более низкоразмерные объёмы не считаются (как площадь в 3-мерном случае). Если в 3-мерном случае три вектора окажутся в одной плоскости (2-мерное подпространство), то объём обратится в нуль (хотя площадь получившейся фигуры может быть не нулевой). Точно так же, и в $n$-мерном пространстве, если все векторы окажутся в некотором $k<n$-мерном подпространстве, то $n$-мерный объём обратится в нуль.

bigarcus в сообщении #749137 писал(а):

а то он вычисляется не пойми как, правило звездочки выглядит как с горы
мне сказали через миноры легче чем звездочка но идею все-равно не пойму

Вычисление определителя - это обобщение правила вычисления площади параллелограмма и объёма параллелепипеда. Его можно вывести без миноров, рассматривая сначала 2 вектора и площадь параллелограмма, потом 3 вектора и объём параллелепипеда, и так далее, до нужных $n$ измерений, но это для вас будет сложнее.

[Otta]

Munin в сообщении #749154 писал(а):

В векторном пространстве есть только векторы.

Это верно. А вот точек (где якобы может начинаться и кончаться вектор) в этом пространстве нет.
В отличие от аффинного пространства, где есть и то, и другое, и паре (точка, вектор) сопоставляется другая точка - конец вектора.

Munin в сообщении #749154 писал(а):

Векторное пространство можно рассматривать как евклидово.

Munin в сообщении #749154 писал(а):

А чтобы евклидово пространство рассматривать как векторное,

Евклидово пространство - векторное по определению. Векторное, наделенное операцией скалярного произведения.

Munin в сообщении #749154 писал(а):

Более низкоразмерные объёмы не считаются (как площадь в 3-мерном случае).

Замечательно считаются, только другой определитель нужно писать.

[Xaositect]

Otta в сообщении #749206 писал(а):

Евклидово пространство - векторное по определению. Векторное, наделенное операцией скалярного произведения.

Это Munin почему-то называет аффинное пространство евклидовым.

[Otta]

Xaositect
Да я-то догадалась... но была обескуражена настойчивостью, с какой он это делает. Да и не мне он объяснял. Научим еще, пожалуй.

[Oleg Zubelevich]

Так для порядка.

Определение.
Множество $E$ называется аффинным пространством если ему сопоставлено векторное пространство $L$ так, что
определено отображение $E\times E\to L$, которое мы будем обозначать так $E\times E\ni (A,B)\mapsto \overline {AB}\in L$ со следующими свойствами

1) для любых $A,B,C\in E$ будет $\overline {AB}+\overline {BC}+\overline {CA}=0$
2) отображение $A\mapsto \overline{OA}$ является биекцией $E$ на $L$ для любого фиксированного элемента $O\in E$.

[Otta]

Oleg Zubelevich в сообщении #749221 писал(а):

Определение.

Хорошее определение. Но тут кто как определяет, кто-то задействует отображения $E\times E\to L$, кто-то $E\times L\to E$ (которое я весьма вольно выше изложила) c определенными свойствами.
Например, вот еще определение.

[Munin]

Otta в сообщении #749206 писал(а):

Евклидово пространство - векторное по определению.

Я уже сказал, термин "евклидово пространство" может употребляться по-разному (аффинное пространство с евклидовой метрикой, либо векторное с евклидовой нормой). Вносить путаницу - не самый лучший способ научить человека и помочь ему разобраться.

Xaositect в сообщении #749209 писал(а):

Это Munin почему-то называет аффинное пространство евклидовым.

Я называю евклидово евклидовым, потому что:
1. Аффинное - неметрическое, и
2. bigarcus вряд ли сталкивался как с ним, так и с термином.

[apriv]

Oleg Zubelevich в сообщении #749221 писал(а):

Определение.

Ужас-то какой. По-простому, аффинное пространство — это торсор для векторного пространства.

[Oleg Zubelevich]

apriv в сообщении #749238 писал(а):

аффинное пространство — это торсор для векторного пространства.

ага, а торсор для векторного пространства это по определению то, что написано выше. да смешно

-- Чт июл 25, 2013 21:56:08 --

Otta в сообщении #749224 писал(а):

Но тут кто как определяет, кт

так я не против, главное чтоб определение было сформулировано

[Otta]

Munin в сообщении #749229 писал(а):

Вносить путаницу - не самый лучший способ научить человека и помочь ему разобраться.

Я тоже так думаю. И если речь идет о векторах или их структурах, то незачем тянуть сюда метрику или норму, пока в этом не возникла нужда.

[apriv]

Oleg Zubelevich в сообщении #749241 писал(а):

ага, а торсор для векторного пространства это по определению то, что написано выше. да смешно

Да нет, вроде бы, в определении действия группы (или чего-нибудь такого) на множестве (или чем-нибудь таком) обычно никаких $E\times E\to L$ нет в помине.

[Oleg Zubelevich]

Otta в сообщении #749244 писал(а):

И если речь идет о векторах или их структурах, то незачем тянуть сюда метрику или норму, пока в этом не возникла нужда.

это без толку, тут уже товарисчу внушение делали на туже тему: post736310.html#p736310 но увы , не понимает клинически

-- Чт июл 25, 2013 22:05:31 --

apriv в сообщении #749247 писал(а):

Да нет, вроде бы

а если нет, то Ваше определение не эквивалентно общепринятому

[Munin]

Otta в сообщении #749244 писал(а):

И если речь идет о векторах или их структурах, то незачем тянуть сюда метрику или норму, пока в этом не возникла нужда.

Вот я и не тяну.