2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение23.08.2014, 20:06 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Используя разложение в тригонометрический ряд Фурье, найти сумму числового ряда
$\sum_{k=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{2n+1}{{(4n+1)}^{2}{(4n+3)}^{2}}.$

Выглядит тяжко... И как подобрать функцию к такой "гробовой" сумме?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение23.08.2014, 21:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Действительно, хрень какая-то... Может, разложить на простейшие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение23.08.2014, 21:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Сумма по $k$, говорите?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение23.08.2014, 21:20 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Утундрий да, заметил ужи.) Поправить хотел, но опоздал. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение23.08.2014, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Впрочем, если даже и по $n$, то тоже ничего хорошего:
$$\[
\frac{{\text{1}}}
{{{\text{512}}}}\left[ {\varsigma \left( {2,\frac{1}
{8}} \right) - \varsigma \left( {2,\frac{3}
{8}} \right) - \varsigma \left( {2,\frac{5}
{8}} \right) + \varsigma \left( {2,\frac{7}
{8}} \right)} \right]
\]
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение23.08.2014, 22:42 
Аватара пользователя


25/02/11
234
ИСН даже если и так, то, логично предположить, что этот трюк здесь неуместен, ибо "соли" не будет. Ведь правда? :-)

(Оффтоп)

Да и лень, конечно. :D


-- Вс авг 24, 2014 01:02:10 --

Хотя...
$\frac{2n+1}{{(4n+1)}^{2}{(4n+3)}^{2}}=\frac{1}{8}[\frac{1}{{(4n+1)}^{2}}-\frac{1}{{(4n+3)}^{2}}].$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение25.08.2014, 10:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
А нельзя идти от ряда для $e^{-a|x|}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение25.08.2014, 13:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
1r0pb в сообщении #898932 писал(а):
Хотя...
$\frac{2n+1}{{(4n+1)}^{2}{(4n+3)}^{2}}=\frac{1}{8}[\frac{1}{{(4n+1)}^{2}}-\frac{1}{{(4n+3)}^{2}}].$

Ценное наблюдение. Теперь подставьте эту скобку в исходную сумму и попытайтесь углядеть в том, что получится, чего-нибудь типа $\sum\frac1{(2n+1)^2}\cdot\cos\frac{\pi+2\pi n}4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение25.08.2014, 13:44 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Евгений Машеров, прикинул, но дельного не вышло, к сожалению.
ewert очень интересно... как Вы это получили.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение25.08.2014, 13:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
1r0pb в сообщении #899699 писал(а):
... как Вы это получили.)

Молча получил. Бросается ведь в глаза, что после подстановки в сумме будут стоять все нечётные знаменатели с периодически меняющимися числителями, а уж угадать закон этой периодичности совсем легко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение25.08.2014, 16:37 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Ах, ну да, красота получается! :D Таким образом, исходная сумма равна
$\frac{1}{4\sqrt{2}}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{{(2n+1)}^{2}}\cos (\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}n)=\frac{1}{4\sqrt{2}}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{{(2n+1)}^{2}}\cos [(2n+1)\frac{\pi }{4}]$
, где
$|x|=\frac{\pi }{2}-\frac{4}{\pi }\sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{{(2k+1)}^{2}}\cos (2k+1)x\ \Rightarrow \ S=\frac{{\pi }^{2}}{64\sqrt{2}}.$

Хотя в ответе $\frac{{\pi }^{2}}{32\sqrt{2}}.$

-- Пн авг 25, 2014 18:51:07 --

Но значение, которое в ответе, превосходит первый член ряда, чего быть не может. Так ведь? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение25.08.2014, 17:15 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Мне тоже кажется, что 64.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение25.08.2014, 18:21 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Да, должно быть $\[\frac{{{\pi ^2}}}{{64\sqrt 2 }}\]$ (это и Maple подвердила). В ответе ошибка

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение25.08.2014, 20:48 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Всем спасибо за участие!
P.S. Доволен тем, что разобрался в этом вопросе. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group