2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение23.08.2014, 20:06 
Аватара пользователя
Используя разложение в тригонометрический ряд Фурье, найти сумму числового ряда
$\sum_{k=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{2n+1}{{(4n+1)}^{2}{(4n+3)}^{2}}.$

Выглядит тяжко... И как подобрать функцию к такой "гробовой" сумме?

 
 
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение23.08.2014, 21:13 
Аватара пользователя
Действительно, хрень какая-то... Может, разложить на простейшие?

 
 
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение23.08.2014, 21:18 
Аватара пользователя
Сумма по $k$, говорите?..

 
 
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение23.08.2014, 21:20 
Аватара пользователя
Утундрий да, заметил ужи.) Поправить хотел, но опоздал. :-)

 
 
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение23.08.2014, 21:22 
Аватара пользователя
Впрочем, если даже и по $n$, то тоже ничего хорошего:
$$\[
\frac{{\text{1}}}
{{{\text{512}}}}\left[ {\varsigma \left( {2,\frac{1}
{8}} \right) - \varsigma \left( {2,\frac{3}
{8}} \right) - \varsigma \left( {2,\frac{5}
{8}} \right) + \varsigma \left( {2,\frac{7}
{8}} \right)} \right]
\]
$$

 
 
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение23.08.2014, 22:42 
Аватара пользователя
ИСН даже если и так, то, логично предположить, что этот трюк здесь неуместен, ибо "соли" не будет. Ведь правда? :-)

(Оффтоп)

Да и лень, конечно. :D


-- Вс авг 24, 2014 01:02:10 --

Хотя...
$\frac{2n+1}{{(4n+1)}^{2}{(4n+3)}^{2}}=\frac{1}{8}[\frac{1}{{(4n+1)}^{2}}-\frac{1}{{(4n+3)}^{2}}].$

 
 
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение25.08.2014, 10:09 
Аватара пользователя
А нельзя идти от ряда для $e^{-a|x|}$?

 
 
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение25.08.2014, 13:14 
1r0pb в сообщении #898932 писал(а):
Хотя...
$\frac{2n+1}{{(4n+1)}^{2}{(4n+3)}^{2}}=\frac{1}{8}[\frac{1}{{(4n+1)}^{2}}-\frac{1}{{(4n+3)}^{2}}].$

Ценное наблюдение. Теперь подставьте эту скобку в исходную сумму и попытайтесь углядеть в том, что получится, чего-нибудь типа $\sum\frac1{(2n+1)^2}\cdot\cos\frac{\pi+2\pi n}4$.

 
 
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение25.08.2014, 13:44 
Аватара пользователя
Евгений Машеров, прикинул, но дельного не вышло, к сожалению.
ewert очень интересно... как Вы это получили.)

 
 
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение25.08.2014, 13:50 
1r0pb в сообщении #899699 писал(а):
... как Вы это получили.)

Молча получил. Бросается ведь в глаза, что после подстановки в сумме будут стоять все нечётные знаменатели с периодически меняющимися числителями, а уж угадать закон этой периодичности совсем легко.

 
 
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение25.08.2014, 16:37 
Аватара пользователя
Ах, ну да, красота получается! :D Таким образом, исходная сумма равна
$\frac{1}{4\sqrt{2}}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{{(2n+1)}^{2}}\cos (\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}n)=\frac{1}{4\sqrt{2}}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{{(2n+1)}^{2}}\cos [(2n+1)\frac{\pi }{4}]$
, где
$|x|=\frac{\pi }{2}-\frac{4}{\pi }\sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{{(2k+1)}^{2}}\cos (2k+1)x\ \Rightarrow \ S=\frac{{\pi }^{2}}{64\sqrt{2}}.$

Хотя в ответе $\frac{{\pi }^{2}}{32\sqrt{2}}.$

-- Пн авг 25, 2014 18:51:07 --

Но значение, которое в ответе, превосходит первый член ряда, чего быть не может. Так ведь? :-)

 
 
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение25.08.2014, 17:15 
Мне тоже кажется, что 64.

 
 
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение25.08.2014, 18:21 
Да, должно быть $\[\frac{{{\pi ^2}}}{{64\sqrt 2 }}\]$ (это и Maple подвердила). В ответе ошибка

 
 
 
 Re: Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье
Сообщение25.08.2014, 20:48 
Аватара пользователя
Всем спасибо за участие!
P.S. Доволен тем, что разобрался в этом вопросе. :-)

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group