Найти сумму с помощью разложения в ряд Фурье

[1r0pb]

Используя разложение в тригонометрический ряд Фурье, найти сумму числового ряда

$\sum_{k=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{2n+1}{{(4n+1)}^{2}{(4n+3)}^{2}}.$

Выглядит тяжко... И как подобрать функцию к такой "гробовой" сумме?

[ИСН]

Действительно, хрень какая-то... Может, разложить на простейшие?

[Утундрий]

Сумма по $k$, говорите?..

[1r0pb]

Утундрий да, заметил ужи.) Поправить хотел, но опоздал.

[Утундрий]

Впрочем, если даже и по $n$, то тоже ничего хорошего:

$$\[ \frac{{\text{1}}} {{{\text{512}}}}\left[ {\varsigma \left( {2,\frac{1} {8}} \right) - \varsigma \left( {2,\frac{3} {8}} \right) - \varsigma \left( {2,\frac{5} {8}} \right) + \varsigma \left( {2,\frac{7} {8}} \right)} \right] \] $$

[1r0pb]

ИСН даже если и так, то, логично предположить, что этот трюк здесь неуместен, ибо "соли" не будет. Ведь правда?

(Оффтоп)

Да и лень, конечно.

-- Вс авг 24, 2014 01:02:10 --

Хотя...

$\frac{2n+1}{{(4n+1)}^{2}{(4n+3)}^{2}}=\frac{1}{8}[\frac{1}{{(4n+1)}^{2}}-\frac{1}{{(4n+3)}^{2}}].$

[Евгений Машеров]

А нельзя идти от ряда для $e^{-a|x|}$?

[ewert]

1r0pb в сообщении #898932 писал(а):

Хотя...
$\frac{2n+1}{{(4n+1)}^{2}{(4n+3)}^{2}}=\frac{1}{8}[\frac{1}{{(4n+1)}^{2}}-\frac{1}{{(4n+3)}^{2}}].$

Ценное наблюдение. Теперь подставьте эту скобку в исходную сумму и попытайтесь углядеть в том, что получится, чего-нибудь типа $\sum\frac1{(2n+1)^2}\cdot\cos\frac{\pi+2\pi n}4$.

[1r0pb]

Евгений Машеров, прикинул, но дельного не вышло, к сожалению.
ewert очень интересно... как Вы это получили.)

[ewert]

1r0pb в сообщении #899699 писал(а):

... как Вы это получили.)

Молча получил. Бросается ведь в глаза, что после подстановки в сумме будут стоять все нечётные знаменатели с периодически меняющимися числителями, а уж угадать закон этой периодичности совсем легко.

[1r0pb]

Ах, ну да, красота получается! Таким образом, исходная сумма равна

$\frac{1}{4\sqrt{2}}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{{(2n+1)}^{2}}\cos (\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}n)=\frac{1}{4\sqrt{2}}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{{(2n+1)}^{2}}\cos [(2n+1)\frac{\pi }{4}]$

, где

$|x|=\frac{\pi }{2}-\frac{4}{\pi }\sum_{k=0}^{\infty }\frac{1}{{(2k+1)}^{2}}\cos (2k+1)x\ \Rightarrow \ S=\frac{{\pi }^{2}}{64\sqrt{2}}.$

Хотя в ответе $\frac{{\pi }^{2}}{32\sqrt{2}}.$

-- Пн авг 25, 2014 18:51:07 --

Но значение, которое в ответе, превосходит первый член ряда, чего быть не может. Так ведь?

[ewert]

Мне тоже кажется, что 64.

[Ms-dos4]

Да, должно быть $\[\frac{{{\pi ^2}}}{{64\sqrt 2 }}\]$ (это и Maple подвердила). В ответе ошибка

[1r0pb]

Всем спасибо за участие!
P.S. Доволен тем, что разобрался в этом вопросе.