О сумме двух кубов

[ljubarcev]

PAV писал(а):

Для доказательства теоремы Ферма Вы должны рассмотреть все возможные наборы чисел $x,y,z$. При этом та формула, о которой я тут писал, используется в контексте четвертого утверждения, которое неверно. И это совершенно не противоречит тому, что другие утверждения с той же самой формулой могут быть верны.

Точно так же Ваше замечание о том, что

Цитата:

в область рассмотрения попадают все множество натуральных чисел $z;y$.

неверно.

Уважаемый PAV ! Вот это действительно становится похожим на дискуссию. Приведенное Вами действительно касается сути обсуждаемого вопроса.
1. Ваше утверждение о том, что если доказывается утверждение: натуральное число $z^n$ не представимо в виде суммы натуральных чисел $x^n+y^n$, что оно должно быть доказано для любой пары чисел $x:y$ конечно верно. Доказывать это можно постепенно отбрасывая (доказательно) какие – то числа, и продолжая доказательство для оставшихся.
Например, доказательство предполагаемого равенства $Z^n=X^n+Y^n$ при произвольных $Z;Y;X$ обычно начинают с доказательства, что при этом должно быть и $z^n=x^n+y^n$ при взаимно простых $z;y;x$ и на этом основании правомерно исключают из дальнейшего рассмотрения все тройки не взаимно простых $z;y;x$.
2. Согласен, что моему верному утверждению: куб любого натурального числа представим в виде разности двух натуральных чисел $a^3=z-y$ удовлетворяет не любая пара чисел $z;y$. В этом Вы правы.
Утверждение $a^3=z-y$ является следствием более общего утверждения: любое натуральное число представимо в виде разности двух натуральных чисел $N=z-y$. Вот этому равенству удовлетворяют все пары чисел $z;y$. Переходя к рассмотрению кубов натурального числа $N=a^3$ мы, правомерно, исключаем из рассмотрения все пары $z;y$, не удовлетворяющие равенству $a^3=z-y$. Поэтому Ваша ссылка на потерю строгости при переходе от $a^3=z-y$ к $z-y=a^3$ не работает.
3. Прошу прощения, но и с Вашим утверждением: формула не является утверждением тоже согласиться не могу. Формулы (и вообще язык алгебры) для того и придумали, что бы избежать словесных описаний с подлежащими, сказуемыми и проч. Формула – утверждение, записанное на языке алгебры. Если формула верная – утверждение верное, если не верна - утверждение не верное.
Дед.

[Алексей К.]

Формула не всегда является утверждением.
Описывая некое ГМТ, $x^2+y^2=1$, я использую формулу, но ничего не утверждаю ("поработайте-ка на этом множестве точек, может чего-то наковыряете").
Задавая задачку-уравнение, я использую формулу, но ничего не утверждаю.
Да, в таблице интегралов сплошные формулы-утверждения, а в Демидовиче --- вряд ли...

[PAV]

ljubarcev писал(а):

3. Прошу прощения, но и с Вашим утверждением: формула не является утверждением тоже согласиться не могу. Формулы (и вообще язык алгебры) для того и придумали, что бы избежать словесных описаний с подлежащими, сказуемыми и проч. Формула – утверждение, записанное на языке алгебры. Если формула верная – утверждение верное, если не верна - утверждение не верное.

Не хотите - не соглашайтесь. Вы видели, что на основе одной и той же формулы я свормулировал четыре различных утверждения, одно из которых, в частности, было неверным?

А дальше разрабатывайте такие утверждения, какие хотите. Возможно, в этом есть свой смысл. Если бы Вы сами могли обнаруживать свои ошибки, очевидные остальным, то очень быстро бы осознали, что те факты, которые Вы упорно пытаетесь легко доказать, совем не так просты. Вам бы просто не о чем было бы писать. А так Вы при деле получаетесь, думаете, что что-то доказываете... Но я в этом все равно участвовать не собираюсь и по сути Ваших "доказательств" дискутировать не намерен.

[ljubarcev]

PAV писал(а):

Не хотите - не соглашайтесь. Вы видели, что на основе одной и той же формулы я свормулировал четыре различных утверждения, одно из которых, в частности, было неверным?.

Уважаемый PAV ! Вы правильно привели четыре формулы, С этим я согласен. Ваше утверждение, что из верного утверждения: куб любого натурального числа всегда представим в виде суммы двух чисел, что на языке алгебры записывается как $a^3=z+y$, не следует, что сумма двух чисел всегда является кубом - $z+y=a^3$, справедливо.
В то же время, думаю, Вы не будете отрицать, что существуют пары чисел $z_1;y_1$ , сумма которых является кубом для любого $a$. Именно эти пары, так как только они представляют куб, я использую в дальнейших рассуждениях, правомерно отбрасывая прочие. Ведь в конце концов надо исключить все пары. Поэтому дальше все верно.
Дед.

[Brukvalub]

ljubarcev писал(а):

В то же время, думаю, Вы не будете отрицать, что существуют пары чисел $z_1;y_1$ , сумма которых является кубом для любого $a$.

Вот такие высказывания и показывают истинный уровень Вашей математической и логической подготовки.

[PAV]

Вот именно в том-то и дело, что те пары, которые подходят под Ваши рассуждения, Вы исключили правомерно, т.е. доказали, что для них требуемое утверждение верно. А те, которые не подошли, Вы просто выкинули из рассмотрения, ничего реально про них не доказав.

[ljubarcev]

Brukvalub писал(а):

ljubarcev писал(а):

В то же время, думаю, Вы не будете отрицать, что существуют пары чисел $z_1;y_1$ , сумма которых является кубом для любого $a$.

Вот такие высказывания и показывают истинный уровень Вашей математической и логической подготовки.

Уважаемый Brukvalub !
Так что $7+1=6+2=5+3=4+4=2^3$ - не верно ?
Дед.

[TOTAL]

ljubarcev писал(а):

Уважаемый Brukvalub !
Так что $7+1=6+2=5+3=4+4=2^3$ - не верно ?

Такие вопросы задают в разделе "помогите решить".

[PAV]

ljubarcev, Вы мне не поверите, но

фраза:
"Существуют числа $z_1;y_1$, сумма которых равна $a^3$ для любого $a$"
и фраза:
"Для любого $a$ существуют числа $z_1;y_1$, сумма которых равна $a^3$"

обозначают совершенно разные утверждения.

Выражаясь более формально, от перестановки местами кванторов $\exists$ (существует) и $\forall$ (для любого), смысл математического утверждения меняется совершенно кардинально. Впрочем, Вы эти кванторы обычно вообще не употребляете.

Ваше утверждение, которое процитировал Brukvalub, неверно.

[ljubarcev]

Уважаемый PAV ! Я ведь согласился, что из верного утверждении: все врачи - люди, не следует – все люди – врачи. Но ведь когда мы рассуждаем о врачах, а они все –люди, (ищем врача , отвечающего нашим определенным требованиям) остальных людей мы сразу отбрасываем. Так и здесь. Я рассматриваю представление куба суммой двух кубов. Поэтому считаю, что суммы пар чисел, не представляющие кубы, не могут привести к решениям равенства $z^3=x^3+y^3$ и на этом основании их отбрасываю. Разве это не правомерно?
Дед.

[PAV]

Насколько мне удается понять из Вашего текста, Вы рассматриваете только такие числа $x,z$, для которых разность их является целым кубом: $z-x=a^3$

Доказываете, что такие числа не могут давать равенство Ферма, т.е. разность их кубов $z^3-x^3$ не может быть целым кубом.

При этом непонятно, почему не может быть так, что разность самих чисел $z-x$ не является целым кубом, а разность $z^3-x^3$ --- является. Т.е. я не вижу доказательства того, что все отброшенные пары отброшены правомерно.

[TOTAL]

ljubarcev писал(а):

Я рассматриваю представление куба суммой двух кубов. Поэтому считаю, что суммы пар чисел, не представляющие кубы, не могут привести к решениям равенства $z^3=x^3+y^3$ и на этом основании их отбрасываю. Разве это не правомерно?
Дед.

Лично я на вопрос о том, правомерно ли это, ответить не могу, так как не понимаю, что здесь утверждается.

[ljubarcev]

PAV писал(а):

Насколько мне удается понять из Вашего текста, Вы рассматриваете только такие числа $x,z$, для которых разность их является целым кубом: $z-x=a^3$

Доказываете, что такие числа не могут давать равенство Ферма, т.е. разность их кубов $z^3-x^3$ не может быть целым кубом.

При этом непонятно, почему не может быть так, что разность самих чисел $z-x$ не является целым кубом, а разность $z^3-x^3$ --- является. Т.е. я не вижу доказательства того, что все отброшенные пары отброшены правомерно.

Уважаемый PAV ! Я уже приводил доказательства, что если равенство $z^3=x^3+y^3$ имеет место в целых числах при $z;y;x$ взаимно простых, то одно из этих чисел должно быть чётно, одно должно делиться на $3$. Обычно я полагаю, что $x<y<z$ и на $3$ делится $x$. Это исходные положения – которых в процессе доказательства необходимо придерживаться. Другие случаи при необходимости должны рассматриваться отдельно. В этом случае $y^3= z^3-x^3=(z-x)(z^2+zx+x^2)$. Так как числа $(z-x)$ и $(z^2+zx+x^2)$ взаимно простые (это легко доказать и доказательство я уже приволил), то ясно, что каждое из них должно быть кубом, то есть должно быть $z-x=a^3$. Это и есть ответ на Ваш вопрос.
Дед.

[Алексей К.]

shwedka писал(а):

Только что появилась статья
http://rapidshare.com/files/71988521/euler.pdf.html
Там анализируется доказательство ВТФ для степени 3, предложенное Эйлером...

Мне же попалась статья 1813 г. (на русском), объясняющая возникшие в обсуждении противоречия.

[PAV]

ljubarcev,

Да, это действительно доказывает, почему нужно рассматривать только такие числа (с точностью до того, что я не проверял те вспомогательные утверждения, на которые Вы при этом ссылаетесь). Небольшое замечание касается того, что если Вы решили нумеровать числа так, чтобы $x<y<z$, то это уже однозначно задает расположение букв и при этом уже нельзя произвольно полагать, что именно $x$ делится на 3. Может оказаться и $y$.