2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Множество с двумя операциями. Литература.
Сообщение06.12.2007, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10078
Задано множество с двумя операциями - "сложение" и "умножение".
Множество является группой по "сложению".
"Умножение" - просто бинарная операция, причем даже не ассоциативная (не говоря уже про обратимость).
Есть ли какая нибудь литература посвященная подобным структурам?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.12.2007, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17989
Москва
Если группа коммутативная и дистрибутивность есть, то это кольцо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.12.2007, 21:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10078
Похоже на кольцо, но там нет единицы по "умножению". Это сильно меняет дело?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.12.2007, 21:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17989
Москва
Dan B-Yallay писал(а):
Похоже на кольцо, но там нет единицы по "умножению". Это сильно меняет дело?


От умножения в кольце ничего не требуется, кроме дистрибутивности относительно сложения. В частности, единица не обязательна.
А по сложению это должна быть абелева группа.

Например, $\mathbb R^3$ будет кольцом, если в качестве умножения взять векторное произведение (а сложение - обычное сложение векторов). Ни коммутативности, ни ассоциативности, ни единицы там нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.12.2007, 01:04 
Заслуженный участник


31/12/05
1525
Someone писал(а):
От умножения в кольце ничего не требуется, кроме дистрибутивности относительно сложения.
Я порылся в разнообразных источниках как на русском, так и на английском языке и выяснил, что терминологический вопрос тут очень тонкий.

Как выяснилось, обычно кольцом называют ассоциативное кольцо (ван дер Варден, Кострикин, Dummit&Foote, Hungerford), некоторые (Artin, Lang, Rotman) даже требуют наличие единицы. Общее понятие называется неассоциативным кольцом. Это, конечно, несколько нелогично, но противоположная терминология нашлась только у Куроша и в ссылающейся на него статье из БСЭ - кольцом называется произвольное кольцо, а наличие ассоциативности обговаривается явно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.12.2007, 01:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17989
Москва
Я Куроша и имел в виду.
В Математической энциклопедии от умножения в кольце тоже ничего не требуется, кроме дистрибутивности. Ещё (из серии "Справочная математическая библиотека"):

О.В.Мельников, В.Н.Ремесленников, В.А.Романьков, Л.А.Скорняков, И.П.Шестаков. Общая алгебра. Том 1. Москва, "Наука", 1990.

Но, вообще-то, это далеко не единственный случай разнобоя в терминологии.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.12.2007, 16:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10078
Спасибо за информацию.
Появился дополнительный вопрос: рассматривал ли кто-нибудь неассоциативные некоммутативные кольца без единицы с третьей бинарной операцией "композиция"?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group