Множество с двумя операциями. Литература.

[Dan B-Yallay]

Задано множество с двумя операциями - "сложение" и "умножение".
Множество является группой по "сложению".
"Умножение" - просто бинарная операция, причем даже не ассоциативная (не говоря уже про обратимость).
Есть ли какая нибудь литература посвященная подобным структурам?

[Someone]

Если группа коммутативная и дистрибутивность есть, то это кольцо.

[Dan B-Yallay]

Похоже на кольцо, но там нет единицы по "умножению". Это сильно меняет дело?

[Someone]

Dan B-Yallay писал(а):

Похоже на кольцо, но там нет единицы по "умножению". Это сильно меняет дело?

От умножения в кольце ничего не требуется, кроме дистрибутивности относительно сложения. В частности, единица не обязательна.
А по сложению это должна быть абелева группа.

Например, $\mathbb R^3$ будет кольцом, если в качестве умножения взять векторное произведение (а сложение - обычное сложение векторов). Ни коммутативности, ни ассоциативности, ни единицы там нет.

[tolstopuz]

Someone писал(а):

От умножения в кольце ничего не требуется, кроме дистрибутивности относительно сложения.

Я порылся в разнообразных источниках как на русском, так и на английском языке и выяснил, что терминологический вопрос тут очень тонкий.

Как выяснилось, обычно кольцом называют ассоциативное кольцо (ван дер Варден, Кострикин, Dummit&Foote, Hungerford), некоторые (Artin, Lang, Rotman) даже требуют наличие единицы. Общее понятие называется неассоциативным кольцом. Это, конечно, несколько нелогично, но противоположная терминология нашлась только у Куроша и в ссылающейся на него статье из БСЭ - кольцом называется произвольное кольцо, а наличие ассоциативности обговаривается явно.

[Someone]

Я Куроша и имел в виду.
В Математической энциклопедии от умножения в кольце тоже ничего не требуется, кроме дистрибутивности. Ещё (из серии "Справочная математическая библиотека"):

О.В.Мельников, В.Н.Ремесленников, В.А.Романьков, Л.А.Скорняков, И.П.Шестаков. Общая алгебра. Том 1. Москва, "Наука", 1990.

Но, вообще-то, это далеко не единственный случай разнобоя в терминологии.

[Dan B-Yallay]

Спасибо за информацию.
Появился дополнительный вопрос: рассматривал ли кто-нибудь неассоциативные некоммутативные кольца без единицы с третьей бинарной операцией "композиция"?