Someone писал(а):
От умножения в кольце ничего не требуется, кроме дистрибутивности относительно сложения.
Я порылся в разнообразных источниках как на русском, так и на английском языке и выяснил, что терминологический вопрос тут очень тонкий.
Как выяснилось, обычно кольцом называют ассоциативное кольцо (ван дер Варден, Кострикин, Dummit&Foote, Hungerford), некоторые (Artin, Lang, Rotman) даже требуют наличие единицы. Общее понятие называется неассоциативным кольцом. Это, конечно, несколько нелогично, но противоположная терминология нашлась только у Куроша и в ссылающейся на него статье из БСЭ - кольцом называется произвольное кольцо, а наличие ассоциативности обговаривается явно.
будет кольцом, если в качестве умножения взять векторное произведение (а сложение - обычное сложение векторов). Ни коммутативности, ни ассоциативности, ни единицы там нет.