Оценка суммы с символами Лежандра [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте, друзья!

Пусть $\text{gcd}(k,p)=1$ и

$$S=\sum \limits_{x}\sum \limits_{y} \left(\frac{xy+k}{p}\right),$$

где $x$ и $y$ пробегают возрастающие последовательности, составленные из $X$ и $Y$ вычетов полной системы по модулю $p$. Доказать, что $|S|<\sqrt{XYp}$

В указании сказано, что нужно воспользоваться неравенством

$$S^2\leqslant X\sum \limits_{x}\left |\sum \limits_{y}\left(\frac{xy+k}{p}\right)\right|$$

К сожалению, никаких попыток у меня нет. Буду признателен Вашей помощи.

С уважением, Whitaker.

[Sonic86]

del

[ex-math]

Whitaker
Сдается мне, что в Вашей второй формуле модуль в квадрате должен быть. Попробуйте теперь сумму по икс распространить на все вычеты и затем раскрыть квадрат модуля как двойную сумму.

[Whitaker]

ex-math
Да Вы правы! Там действительно должен быть модуль в квадрате.
А что значит раскрыть квадрат модуля как двойную сумму?

[ex-math]

Квадрат модуля -- это произведение суммы на сопряженную к ней. В данном случае просто произведение двух одинаковых сумм, только переменные суммирования не забудьте по-разному обозначить.

[Whitaker]

ex-math
Там получается такая сумма $F(y,y')=\sum \limits_{x=0}^{p-1}\left(\dfrac{(xy+k)(xy'+k)}{p}\right)$.
Нетрудно получить такую таблицу значений:

$$F(y, y') = \begin{cases} p, & \text{if }y=y'=0 \\ 0, & \text{if }y=0, y'>0 \quad \text{or} \quad y>0, y'=0 \\ p-1, & \text{if }y=y'>0 \\ -\left(\dfrac{yy'}{p}\right) , & \text{if }y\neq y'>0 \end{cases}$$

Пусть $y$ пробегает подмножество $B\subset \{0,1,...,p-1\}$ и пусть $|B|=N$. Надо наверное рассмотреть два отдельных случая, когда $0\in B$ и $0\notin B$. Сейчас буду дальше делать.

[Whitaker]

Да действительно надо рассмотреть два вышеуказанных случая. И в каждом из них получаем, что $S^2\leqslant XYp $, а отсюда $|S|\leqslant \sqrt{XYp}$. Верно да?

ex-math
Спасибо Вам большое за помощь!

[ex-math]

Whitaker
Я не уверен насчет коэффициента. В оценке $S^2$ диагональ (когда игреки равны) даст $XYp$, но есть еще недиагональные слагаемые, они все по единице, но их $Y^2$ штук, что дает еще $XY^2$. Посчитайте внимательнее.

[Whitaker]

ex-math в сообщении #896130 писал(а):

Whitaker
Я не уверен насчет коэффициента.

Извините пожалуйста, а про какой коэффициент Вы говорите? У меня вроде все так получилось. Все перепроверил. Если надо, то могу написать, что у меня получилось.

[ex-math]

Вся оценка умножится на некоторое число. Напишите подробно, что у Вас вышло.

[Whitaker]

ex-math
Вот что у меня получилось: После применения оценки мы получаем:

$$S^2\leqslant X \sum_{x}\left|\sum_{y}\left(\dfrac{xy+k}{p}\right)\right|^2\leqslant X\sum \limits_{x=0}^{p-1}\sum \limits_{y}\sum \limits_{y'}\left(\dfrac{(xy+k)(xy'+k)}{p}\right)=X\sum \limits_{y}\sum \limits_{y'}F(y,y'),$$

где $F(y,y')=\sum \limits_{x=0}^{p-1}\left(\dfrac{(xy+k)(xy'+k)}{p}\right).$ Кроме того, выполняются следующие равенства:

$$F(y, y') = \begin{cases} p, & \text{если } y=y'=0 \\ 0, & \text{если }y=0, y'>0 \quad \text{или} \quad y>0, y'=0 \\ p-1, & \text{если }y=y'>0 \\ -\left(\dfrac{yy'}{p}\right) , & \text{если }y\neq y'>0 \end{cases}$$

Перейдем к оценке суммы $\sum \limits_{y}\sum \limits_{y'}F(y,y')$. Пусть $y$ и $y'$ пробегают множество значений $B\subset \{0,1,\dots, p-1\}$ и $|B|=Y.$ Рассмотрим два случая.
Первый случай: Пусть $0\notin B.$ Тогда разобьем нашу на две суммы такого рода:

$$\sum \limits_{y}\sum \limits_{y'}F(y,y')=\sum \limits_{(y,y')\in B^2\atop{y=y'}}F(y,y')+\sum \limits_{(y,y')\in B^2\atop{y\neq y'}}F(y,y')=(p-1)Y-\left(\sum \limits_{y\in B}\left(\dfrac{y}{p}\right)\right)^2+Y\leqslant YP.$$

В этом случае получаем, что $|S|<\sqrt{XYp}$
Второй случай: Пусть $0\in B$. Тогда

$$\sum \limits_{y}\sum \limits_{y'}F(y,y')=F(0,0)+\sum \limits_{(y,y')\in (B\backslash 0)^2\atop{y=y'}}F(y,y')+\sum \limits_{(y,y')\in (B\backslash 0)^2\atop{y\neq y'}}F(y,y')=p+(Y-1)(p-1)-\left(\sum \limits_{y\in B\backslash 0}\left(\dfrac{y}{p}\right)\right)^2+$$

$$+\sum \limits_{y\in B \backslash 0}\left(\dfrac{y^2}{p}\right)\leqslant p+(Y-1)(p-1)+Y-1=Yp$$

Таким образом, в обоих случаях получаем, что $|S|\leqslant \sqrt{XYp}$
Вот так у меня и получилось и вроде никаких лишних коэффициентов быть не должно.

[ex-math]

ОК, действительно все хорошо.