2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оценка суммы с символами Лежандра [Теория чисел]
Сообщение12.08.2014, 10:58 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Здравствуйте, друзья!

Пусть $\text{gcd}(k,p)=1$ и $$S=\sum \limits_{x}\sum \limits_{y} \left(\frac{xy+k}{p}\right),$$ где $x$ и $y$ пробегают возрастающие последовательности, составленные из $X$ и $Y$ вычетов полной системы по модулю $p$. Доказать, что $|S|<\sqrt{XYp}$

В указании сказано, что нужно воспользоваться неравенством $$S^2\leqslant X\sum \limits_{x}\left |\sum \limits_{y}\left(\frac{xy+k}{p}\right)\right|$$К сожалению, никаких попыток у меня нет. Буду признателен Вашей помощи.

С уважением, Whitaker.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка суммы с символами Лежандра [Теория чисел]
Сообщение12.08.2014, 12:13 
Заслуженный участник


08/04/08
8504
del

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка суммы с символами Лежандра [Теория чисел]
Сообщение12.08.2014, 13:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Whitaker
Сдается мне, что в Вашей второй формуле модуль в квадрате должен быть. Попробуйте теперь сумму по икс распространить на все вычеты и затем раскрыть квадрат модуля как двойную сумму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка суммы с символами Лежандра [Теория чисел]
Сообщение13.08.2014, 10:43 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
ex-math
Да Вы правы! Там действительно должен быть модуль в квадрате.
А что значит раскрыть квадрат модуля как двойную сумму?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка суммы с символами Лежандра [Теория чисел]
Сообщение13.08.2014, 14:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Квадрат модуля -- это произведение суммы на сопряженную к ней. В данном случае просто произведение двух одинаковых сумм, только переменные суммирования не забудьте по-разному обозначить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка суммы с символами Лежандра [Теория чисел]
Сообщение14.08.2014, 11:50 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
ex-math
Там получается такая сумма $F(y,y')=\sum \limits_{x=0}^{p-1}\left(\dfrac{(xy+k)(xy'+k)}{p}\right)$.
Нетрудно получить такую таблицу значений: $$F(y, y') =
\begin{cases}
p, & \text{if }y=y'=0 \\
0, & \text{if }y=0, y'>0 \quad \text{or} \quad y>0, y'=0 \\
p-1, & \text{if }y=y'>0 \\
-\left(\dfrac{yy'}{p}\right) , & \text{if }y\neq y'>0 
\end{cases}$$
Пусть $y$ пробегает подмножество $B\subset \{0,1,...,p-1\}$ и пусть $|B|=N$. Надо наверное рассмотреть два отдельных случая, когда $0\in B$ и $0\notin B$. Сейчас буду дальше делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка суммы с символами Лежандра [Теория чисел]
Сообщение14.08.2014, 13:39 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Да действительно надо рассмотреть два вышеуказанных случая. И в каждом из них получаем, что $S^2\leqslant XYp $, а отсюда $|S|\leqslant \sqrt{XYp}$. Верно да?

ex-math
Спасибо Вам большое за помощь! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка суммы с символами Лежандра [Теория чисел]
Сообщение14.08.2014, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Whitaker
Я не уверен насчет коэффициента. В оценке $S^2$ диагональ (когда игреки равны) даст $XYp$, но есть еще недиагональные слагаемые, они все по единице, но их $Y^2$ штук, что дает еще $XY^2$. Посчитайте внимательнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка суммы с символами Лежандра [Теория чисел]
Сообщение14.08.2014, 15:10 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
ex-math в сообщении #896130 писал(а):
Whitaker
Я не уверен насчет коэффициента.

Извините пожалуйста, а про какой коэффициент Вы говорите? У меня вроде все так получилось. Все перепроверил. Если надо, то могу написать, что у меня получилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка суммы с символами Лежандра [Теория чисел]
Сообщение14.08.2014, 16:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Вся оценка умножится на некоторое число. Напишите подробно, что у Вас вышло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка суммы с символами Лежандра [Теория чисел]
Сообщение16.08.2014, 18:00 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
ex-math
Вот что у меня получилось: После применения оценки мы получаем: $$S^2\leqslant X \sum_{x}\left|\sum_{y}\left(\dfrac{xy+k}{p}\right)\right|^2\leqslant X\sum \limits_{x=0}^{p-1}\sum \limits_{y}\sum \limits_{y'}\left(\dfrac{(xy+k)(xy'+k)}{p}\right)=X\sum \limits_{y}\sum \limits_{y'}F(y,y'),$$ где $F(y,y')=\sum \limits_{x=0}^{p-1}\left(\dfrac{(xy+k)(xy'+k)}{p}\right).$ Кроме того, выполняются следующие равенства: $$F(y, y') =
\begin{cases}
p, & \text{если } y=y'=0 \\
0, & \text{если }y=0, y'>0 \quad \text{или} \quad y>0, y'=0 \\
p-1, & \text{если }y=y'>0 \\
-\left(\dfrac{yy'}{p}\right) , & \text{если }y\neq y'>0 
\end{cases}$$ Перейдем к оценке суммы $\sum \limits_{y}\sum \limits_{y'}F(y,y')$. Пусть $y$ и $y'$ пробегают множество значений $B\subset \{0,1,\dots, p-1\}$ и $|B|=Y.$ Рассмотрим два случая.
Первый случай: Пусть $0\notin B.$ Тогда разобьем нашу на две суммы такого рода: $$\sum \limits_{y}\sum \limits_{y'}F(y,y')=\sum \limits_{(y,y')\in B^2\atop{y=y'}}F(y,y')+\sum \limits_{(y,y')\in B^2\atop{y\neq y'}}F(y,y')=(p-1)Y-\left(\sum \limits_{y\in B}\left(\dfrac{y}{p}\right)\right)^2+Y\leqslant YP.$$ В этом случае получаем, что $|S|<\sqrt{XYp}$
Второй случай: Пусть $0\in B$. Тогда $$\sum \limits_{y}\sum \limits_{y'}F(y,y')=F(0,0)+\sum \limits_{(y,y')\in (B\backslash 0)^2\atop{y=y'}}F(y,y')+\sum \limits_{(y,y')\in (B\backslash 0)^2\atop{y\neq y'}}F(y,y')=p+(Y-1)(p-1)-\left(\sum \limits_{y\in B\backslash 0}\left(\dfrac{y}{p}\right)\right)^2+$$$$+\sum \limits_{y\in B \backslash 0}\left(\dfrac{y^2}{p}\right)\leqslant p+(Y-1)(p-1)+Y-1=Yp$$

Таким образом, в обоих случаях получаем, что $|S|\leqslant \sqrt{XYp}$
Вот так у меня и получилось и вроде никаких лишних коэффициентов быть не должно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка суммы с символами Лежандра [Теория чисел]
Сообщение17.08.2014, 07:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
ОК, действительно все хорошо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group