Кривая с постоянной разностью расстояний до 2 точек

[Sashamandra]

Shtorm в сообщении #894711 писал(а):

Что значит, будут лежать на двух осях гиперболы?

Описка.

Точки искомой кривой лежат на двух ветвях гиперболы. А точки гиперболы лежат на искомой кривой. Искомая кривая совпадает с двумя ветвями гиперболы, формула которой приведена выше.

[Shtorm]

Sashamandra, ага, ясно.
Но меня удивило то, что Вы не использовали классические обозначения

Sashamandra в сообщении #894630 писал(а):

Пусть расстояние между ними будет $2a$.

А классически расстояние между ними $2c$,

Sashamandra в сообщении #894630 писал(а):

Пусть расстояния произвольной точки кривой до опорных точек будут отличаться (большее расстояние от меньшего) на $2b$.

а классически на $2a$, причём $c^2=a^2+b^2$
В итоге, при соответствующем выборе системы координат получаем каноническое уравнение гиперболы:

$$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$$

[Sashamandra]

Shtorm в сообщении #894784 писал(а):

меня удивило то, что Вы не использовали классические обозначения

Во-первых, я не знаю "классическое обозначение". Если и знал, то забыл. Вам шашечки или ехать?

Во-вторых, в моих обозначениях при $a < b$ формула определяет геометрическое место точек (в форме эллипса), у которых сумма расстояний до опорных точек равна $2b$. Другими словами, моя формула демонстрирует не просто формальную близость гиперболы и эллипса (плюс заменяется на минус и наоборот), а смысловое единство их определений.

В случае $a = b$ эллипс вырождается в отрезок, соединяющий опорные точки.

[Shtorm]

Sashamandra в сообщении #894826 писал(а):

Во-вторых, в моих обозначениях при $a < b$ формула определяет геометрическое место точек (в форме эллипса), у которых сумма расстояний до опорных точек равна $2b$. Другими словами, моя формула демонстрирует не просто формальную близость гиперболы и эллипса (плюс заменяется на минус и наоборот), а смысловое единство их определений.

Ваше уравнение

Sashamandra в сообщении #894630 писал(а):

$${x^2} - \frac{{{y^2}}}{{{{(a/b)}^2} - 1}} = {b^2}$$

в классических обозначениях перепишется как:

$${x^2} - \dfrac{y^2}{\left(\frac{c}{a}\right)^2 - 1} = {a^2}$$

По определению эксцентриситет гиперболы (эллипса) $\varepsilon=\frac ca$ подставляем и получаем:

$${x^2} - \dfrac{y^2}{\varepsilon^2 - 1} = {a^2}$$

Для гиперболы $\varepsilon >1$, для эллипса $\varepsilon <1$ вот Вам и связь уравнений эллипса и гиперболы. А уравнение гиперболы, записанное в каноническом виде

$$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$$

где $a$ и $b$ - размеры полуосей гиперболы, удобно тем, что сразу показывает координаты вершин гиперболы, сразу по формуле расстояние между фокусами, координаты фокусов и сразу уравнения асимптот гиперболы. Да и сразу понятно как ветви расположены.

[Sashamandra]

Shtorm в сообщении #894839 писал(а):

в классических обозначениях перепишется как:

Буду иметь в виду, что в классических обозначениях $a \to c,\;b \to a$.

[alcoholist]

(Оффтоп)

Sashamandra в сообщении #894826 писал(а):

смысловое единство

любовь

[Shtorm]

Sashamandra в сообщении #894660 писал(а):

Случай $a = b$ вырожденный. График вырождается в два луча, исходящие из точек с координатами $(a,0)$ и $( - a,0)$ и направленные по оси $x$ в противоположные от начала координатной оси стороны.

Ну, а в случае $b = 0$ график совпадает с осью $y$.

Правильно ли я понял, что в этих случаях, если плюс к этому, другие два микрофона, расположенные под углом к первым двум тоже дали вырожденный случай, то достаточно найти точку пересечения лучей или прямых, и это и будет точка расположения источника звука?

[Евгений Машеров]

В общем, правильно. Но это довольно маловероятный случай, и в соответствующих наставлениях его даже не рассматривают.

[Shtorm]

Евгений Машеров, я тоже сначала подумал, что маловероятный. Ведь эти микрофоны располагают перед линией фронта на своих позициях, если речь идёт о пушках, миномётах и т.п как об источнике звука. Но потом вспомнил боевую сводку, упоминаемой Вами горячей точки - ведь противники расположены между населёнными пунктами практически в шашечном порядке и довольно часто происходят прорывы и окружения. Значит ситуация, когда миномётный расчёт оказался сбоку от микрофонов - в одну прямую линию с двумя микрофонами - вполне вероятный, не говоря уже о ситуации, когда разность расстояний от микрофонов до источника звука равна нулю. И я вот теперь думаю, что кода студентам на лекции рассказываю про гиперболу, стоит наверно говорить и про вырожденные случаи. Или не говорить, но тогда писать для фокальных радиусов $r_1$ и $r_2$ гиперболы $|r_1-r_2|=2a\ne 0$

[Oval]

http://downloads.hindawi.com/journals/v ... 935925.pdf
A Synthesizable VHDL Model of the Exact Solution for Three-dimensional Hyperbolic Positioning System
RALPH BUCHER and D. MISRA

[Deggial]

Oval, ссылку следует снабжать описанием того, что за ней находится

[Oval]

Deggial в сообщении #906891 писал(а):

Oval, ссылку следует снабжать описанием того, что за ней находится

Done

[popolznev]

ИСН в сообщении #894086 писал(а):

Вы должны ввести, не дядя.

(Оффтоп)

Подумал было, что "дядя" - это глагол (как "не глядя").