Что такое одночастичное состояние в КТП (с взаимодействием)?

[Alex-Yu]

ddn в сообщении #893948 писал(а):

Неважно. Мы описываем состояния. В данном случае с фиксированными числом частиц.

Здесь весь вопрос в том, каких частиц? Реальных физических или неких нереальных "затравочных". Само собой разумеется, что на абстрактном уровне можно рассуждать в базисе "затравочных" частиц. Но тогда эти "частицы" не имеют никакого отношения, например, к электронам. И вообще, черт возми, один единтсвенный электрон, но реальный, физический электрон, это одночастичное состояние или нет в Ваших рассуждениях? Если Вы скажете, что один единственный электрон это не одночастичное состояние (в терминах "затравочных" частиц он точно не одночастичное состояние), то я вполне удовлетворюсь. Это еще и суперпозиция состояний с разным числом "затравочных" частиц.

А то, что все пространство состояний можно "покрыть" фоковскими векторами построенными из "затравочных" частиц --- это, уж извините, неинтересная банальность. Толку только от нее...

P.S. Всеже смесь сотояний это не то же самое, что суперпозиция состояний. В результате смеси получается матрица плотности не сводящаяся к $| \rangle\langle |$. Впрочем, иногда на жаргоне суперпозицию называют смесью. Но надо понимать условность такого жаргона. Если по контесту ясно, что слова "смещиваются" имеет смысл "образуют суперпозицию", тогда еще ладно. В таких случаях слово "смешиваются" надо бы брать в кавычки. Но говорить что суперпозиция и является смесью --- это уже черезчур.

-- Чт авг 07, 2014 21:42:37 --

ddn в сообщении #893948 писал(а):

Когда новые операторы рождения/уничтожения берутся как линейные комбинации старых операторов рождения/уничтожения (причем фермионы должны смешиваться с фермионами, а бозоны с бозонами, если мы не хотим получения парастатистики), то новые состояния с определенным числом частиц являются линейными комбинациями старых с тем же определенным числом частиц.

Оператор рождения реального физического электрона это уж точно не линейная комбинация операторов рождения "затравочных" частиц. Линейные преобразования операторов рождения/уничтожения это скучно и никому не интересно. Кстати, могут быть линейные преобразования (типа преобразований Боголюбова "смешивающих" операторы рождения с операторами уничтожения) когда Ваше утверждение неверно.

-- Чт авг 07, 2014 22:00:34 --

Munin в сообщении #893977 писал(а):

При этом, в результате вообще исчезает прежнее понятие "число частиц". Надо построить новое.

Вот-вот. Я и говорю: очень и очень непростой вопрос. Потому ну их, состояния, обойдемся функциями Грина И не будем ломать себе голову какое одночастичное а какое --- нет Лично я не знаю как разумно определить одночастичное состояние в общем случае теории с взаимодействием. А уж n-частичное... С одночастичным еще как-то что-то можно с полюсом "помутить".

В порядке обсуждения. Может так: одночастичные состояния это все собственные состояния $H$ кроме вакуума? Причем преобразующиеся по неприводимым представлениям группы Лоренца. Пожалуй, абстрактно даже правильно. Но физически абсолютно бесполезно.

[ddn]

Munin в сообщении #893977 писал(а):

Простите, построение одночастичных волновых функций - не то, про что я спрашиваю.

Волновая функция $\Psi_{\vec n}(x^{\#})=\Psi_{\vec n}(\vec x_{i,j_i}|_{j_i=1}^{n_i}|_{i=1}^{N_{sort}})$ многочастичного состояния с фиксированным набором бозонов и фермионов $|\vec n\rangle = \prod\limits_{i=1}^{N_{sort}}\prod\limits_{j_i=1}^{n_i}\frac{1}{\sqrt{n_i!}}\left(\hat a_i^{+}\right)^{n_i}|\vec 0\rangle$ задается так:
$\Psi_{\vec n}(x^{\#})=\prod\limits_{i=1}^{N_{sort}}\theta(\vec x_{i,1}\le...\le \vec x_{i,j_i}\le...\le \vec x_{i,n_i}})\prod\limits_{j_i=1}^{n_i}\Psi_{\vec e_i}(\vec x_{i,j_i})=$
$=\frac{1}{(\vec n|_{bos})!}\sum\limits_{S_b\in \mathcal{P}(\vec n|_{bos})}\frac{1}{(\vec n|_{ferm})!}\sum\limits_{S_f\in \mathcal{P}(\vec n|_{ferm})}(-1)^{\Delta(S_f)}\prod\limits_{i=1}^{N_{sort}}\prod\limits_{j_i=1}^{n_i}\Psi_{\vec e_{(S_b\circ S_f)(i)}}(\vec x_{(S_b\circ S_f)(i,j_i)})$

Munin в сообщении #893977 писал(а):

ddn в сообщении #893948 писал(а):

В данном случае с фиксированными числом частиц.

Что такое "с фиксированным числом частиц" в теории со взаимодействием?

Вы не поняли. Фиксированное не в том смысле что сохраняется при физической эволюции, а в том смысле что это собственный вектор оператора числа частиц: определенное число частиц для данного состояния.

Munin в сообщении #893977 писал(а):

ddn в сообщении #893948 писал(а):

Мы же рассматриваем состояния в различных базисах, а не то, как они физически эволюционируют со временем. Эволюционируют они под действием оператора $-\frac{i}{\hbar}\hat H$ и естественно, что этот оператор в общем случае меняет число частиц.

При этом, в результате вообще исчезает прежнее понятие "число частиц". Надо построить новое.

Фоковский ортонормированный базис строиться руками, произвольно, каждому базисному состоянию приписывается опреденные числа заполнения $\vec n$, а значит и общее число частиц. Есть взаимодействие или нет, все будет одинаково.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #894011 писал(а):

А то, что все пространство состояний можно "покрыть" фоковскими векторами построенными из "затравочных" частиц --- это, уж извините, неинтересная банальность. Толку только от нее...

Ну, не такая уж банальность. И вообще, верно только в окрестности вакуума.

Alex-Yu в сообщении #894011 писал(а):

Оператор рождения реального физического электрона это уж точно не линейная комбинация операторов рождения "затравочных" частиц.

А вот почему? Сделаем "мгновенный рентгеновский снимок" электрона, и породим его со всеми потрохами и косточками, сканируя слева направо.

ddn в сообщении #894022 писал(а):

Фиксированное не в том смысле что сохраняется при физической эволюции, а в том смысле что это собственный вектор оператора числа частиц

вот только оператор числа частиц - ?
Определяете непонятное через непонятное. Что такое оператор числа частиц в невзаимодействующей теории - это известно хорошо. (И вы его, кстати, игнорировали.) А во взаимодействующей?

ddn в сообщении #894022 писал(а):

Фоковский ортонормированный базис строиться руками, произвольно, каждому базисному состоянию приписывается опреденные числа заполнения $\vec n$, а значит и общее число частиц. Есть взаимодействие или нет, все будет одинаково.

То есть, я так понял вашу идею, берём произвольное базисное состояние, ортогональное уже задействованным, приписываем ему произвольное определённое число заполнения, не совпадающее с уже задействованными, и так далее? Довольно бессмысленно :-)

[ddn]

Не могу редактировать, поэтому исправлю здесь.
Для многочастичной волновой функции:
с упорядоченым набором координат:
$\Psi_{\vec n}(x^{\#})=\prod\limits_{i=1}^{N_{sort}}\prod\limits_{j_i=1}^{n_i}\Psi_{\vec e_i}(\vec x_{i,j_i})$
чтобы выполнялось
$|\vec n\rangle=\prod\limits_{i=1}^{N_{sort}}\prod\limits_{j_i=1}^{n_i}\int\limits_{\vec x_{i,j_i-1}}^{\overrightarrow{+\infty}}\big|_{x_{i,0}=\overrightarrow{-\infty}}d^{\mathcal{D}}x_{i,j_i}\Psi_{\vec n}(x^{\#}) |x^{\#}\rangle'$;
или во всем пространстве координат:
так $\Psi_{\vec n}(x^{\#})=\prod\limits_{i=1}^{N_{sort}}\theta(\vec x_{i,1}\le...\le \vec x_{i,j_i}\le...\le \vec x_{i,n_i}})\prod\limits_{j_i=1}^{n_i}\Psi_{\vec e_i}(\vec x_{i,j_i})$
или так $\Psi_{\vec n}(x^{\#})=\frac{1}{(\vec n|_{bos})!}\sum\limits_{S_b\in \mathcal{P}(\vec n|_{bos})}\frac{1}{(\vec n|_{ferm})!}\sum\limits_{S_f\in \mathcal{P}(\vec n|_{ferm})}(-1)^{\Delta(S_f)}\prod\limits_{i=1}^{N_{sort}}\prod\limits_{j_i=1}^{n_i}\Psi_{\vec e_{(S_b\circ S_f)(i)}}(\vec x_{(S_b\circ S_f)(i,j_i)})$
чтобы выполнялось
$|\vec n\rangle=\prod\limits_{i=1}^{N_{sort}}\prod\limits_{j_i=1}^{n_i}\int d^{\mathcal{D}}x_{i,j_i}\Psi_{\vec n}(x^{\#}) |x^{\#}\rangle'$.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #894043 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #894011
писал(а):
Оператор рождения реального физического электрона это уж точно не линейная комбинация операторов рождения "затравочных" частиц.
А вот почему? Сделаем "мгновенный рентгеновский снимок" электрона, и породим его со всеми потрохами и косточками, сканируя слева направо.

Ну это проще простого. Давайте возьмем простенькое приближение: будем считать реальный электрон суперпозицией голого электрона и голого электрона плюс одна электрон-позитронная пара. Естественно с некоторыми коэффициентами (бог с ним какими именно). На самомо деле суперпозиция там радикально сложнее (там еще фотоны могут быть и пар может быть не одна и т.д.), но уже и этого хватит. Ну и какой нужно оператор, чтобы такую "беду" получить из вакуума? Ясно, что это должна быть линейная комбинация одного оператора рождения и произведения трех операторов рождения (два электрона плюс позитрон). Уже нелинейно, третья степень никак не линейна

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #894066 писал(а):

Ну и какой нужно оператор, чтобы такую "беду" получить из вакуума? Ясно, что это должна быть линейная комбинация одного оператора рождения и произведения трех операторов рождения (два электрона плюс позитрон). Уже нелинейно, третья степень никак не линейна :-)

Не понял, мы берём линейную комбинацию $a|e\rangle+b|e\rangle\otimes|e\rangle\otimes|p\rangle,$ где $|e\rangle$ и $|e\rangle\otimes|e\rangle\otimes|p\rangle$ - соответственно, базисные векторы в фоковских 1-частичном и 3-частичном пространствах.

[warlock66613]

Alex-Yu в сообщении #894011 писал(а):

Пожалуй, абстрактно даже правильно.

Если считать состояния с составной частицей неодночастичными, а это, мне кажется, неправильно. Munin приводил пример

Munin в сообщении #892237 писал(а):

Ну, давайте возьмём два скалярных поля, $\phi_{1,2},$ и лагранжиан

В конце получился лагранжиан, "состоящий" из физических частиц. Так вот если бы он взял теорию, допускающую появление составных частиц, то они бы входили в этот лагранжиан наравне с элементарными.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #894087 писал(а):

Не понял,

Ну подумайте коль не поняли Речь, между прочем, шла о преобразованиях операторов рождения и уничтожения, а никак не о преобразовании состояний.

-- Пт авг 08, 2014 02:10:12 --

warlock66613 в сообщении #894098 писал(а):

Если считать состояния с составной частицей неодночастичными,

Ну почему же. Берем составную частицу называемую атомом водорода в основном состоянии. Вполне подходит.