Динамика, трение

[StaticZero]

Еще одна задача: растолкуйте, пожалуйста, причем здесь вообще человек:

Цитата:

Человек массы $M$, оставаясь на месте, тянет за веревку груз
массы $m$. Коэффициент трения о горизонтальную плоскость равен $\mu$. При какой
наименьшей силе натяжения веревки груз стронется с места? Под каким углом
к горизонтальной плоскости должна быть направлена веревка?

Я даже условие не понимаю, не говоря уж о том, как это решить. Прошу помощи.

[DimaM]

StaticZero в сообщении #891596 писал(а):

Еще одна задача: растолкуйте, пожалуйста, причем здесь вообще человек:

Если, например, веревка идет от человека вверх, то сдвинется первым человек, а не груз. То же при горизонтальной веревке, если груз тяжелее человека.
В книжке к этой задече картинка нарисована, если на нее посмотреть, должно стать понятнее.

[StaticZero]

С первой частью я справился.
(Человеку соответствует индекс 1, ящику - 2).
Пусть веревка направлена под углом $\alpha$ к горизонту. Тогда сила натяжения разваливается по двум направлениям:
$Ox: T\cos{\alpha} = \mu N_2$
$Oy: T\sin{\alpha} + Mg = N_1$
$Oy: N_2 = mg - T\sin{\alpha}$

При этом выполняется условие недвижимости человека:
$T\cos{\alpha} < \mu N_1$


Решаем систему. Выпишем по направлению $Ox$ все силы:
$T\cos{\alpha} = \mu (mg - T\sin{\alpha})$
$T(\cos{\alpha} + \mu \sin{\alpha}) = \mu mg$
$T = \dfrac{\mu mg}{\cos{\alpha} + \mu \sin{\alpha}}$

Экстремум (как определить, что это минимум, я не заморачивался)
$\dfrac{\delta T}{\delta \alpha} = \mu mg \dfrac{\mu \cos{\alpha} - \sin {\alpha}}{(\cos{\alpha} + \mu \sin{\alpha})^2} = 0$
$\mu = \tg{\alpha}$

Необходимая тригонометрия:
$\sin{\alpha} = \dfrac{\tg \alpha}{\tg^2{\alpha} + 1}$
$\cos{\alpha} = \dfrac{1}{\tg^2{\alpha} + 1}$

Подстановка:

$T_{\min} = \dfrac{\mu mg}{\frac{1 + \mu^2}{\sqrt{\mu^2 + 1}}} = \dfrac{\mu mg}{\sqrt{\mu^2 + 1}}$
$\alpha = \arctg{\mu}$

Рассмотрим условие неподвижности:
$T\cos{\alpha} < \mu N_1 = \mu Mg + \mu T\sin{\alpha}$

$\dfrac{\mu mg}{\mu \sin{\alpha} + \cos{\alpha}} < \mu Mg + \mu T\sin{\alpha}$

$\dfrac{M}{m} > \dfrac{\cos{\alpha} - \mu \sin{\alpha}}{\cos{\alpha} + \mu \sin{\alpha}} = \dfrac{1-\mu^2}{1+\mu^2}$

Итак,
а) $M > m\dfrac{1-\mu^2}{1+\mu^2}$:

$T_{\min} = \dfrac{\mu mg}{\sqrt{\mu^2 + 1}}$

$\alpha = \arctg{\mu}$

А если не выполняется условие недвижимости, как посчитать?

[StaticZero]

Это условие неподвижности человека можно переписать так:

$\dfrac{M}{m} \geqslant \dfrac{1 - \mu^2}{1 + \mu^2}$

$\left(1 + \dfrac{M}{m}\right)\mu^2 \geqslant 1 - \dfrac{M}{m}$

$\mu^2 \geqslant \dfrac{m - M}{m + M}$

Итого: если $M > m$, то $\mu$ - любой

иначе $\mu^2 \geqslant \dfrac{m - M}{m + M}$

[DimaM]

StaticZero в сообщении #891739 писал(а):

А если не выполняется условие недвижимости, как посчитать?

Тогда надо приравнять $T\cos{\alpha} = \mu N_1$.

[StaticZero]

Так а не будет разве тоже самое, только с буквой $M$?

Цитата:

$T_{\min} = \dfrac{\mu Mg}{\sqrt{\mu^2 + 1}}$

[DimaM]

StaticZero в сообщении #892037 писал(а):

Так а не будет разве тоже самое, только с буквой $M$?

Так это получается сдвинуть человека, потянув за веревку вниз. А задача все-таки сдвинуть груз.

StaticZero в сообщении #891819 писал(а):

Итого: если $M > m$, то $\mu$ - любой
иначе $\mu^2 \geqslant \dfrac{m - M}{m + M}$

"Иначе" неверно. Ясно, что, потянув за веревку практически вертикально, удастся сдвинуть груз, оставив человека на месте, даже при околонулевом коэффициенте трения. При этом $T\approx mg$.

[StaticZero]

Получаю такие уравнения:

$T\cos{\alpha} = \mu N_1$
$N_1 = Mg + T\sin{\alpha}$
$N_2 = mg - T\sin{\alpha}$
$ma = T\cos{\alpha} - \mu N_2 \approx 0$

Решаем:

$0 = T\cos{\alpha} - \mu N_2$
$\mu (mg - T\sin{\alpha}) = \mu (Mg + T\sin{\alpha})$
$g(m - M) = 2T\sin{\alpha}$

$T\sin{\alpha} = \dfrac{g(m - M)}{2}$
$T\cos{\alpha} = \mu g (m - \frac{m}{2} + \frac{M}{2}) = \dfrac{\mu g(m + M)}{2}$
$\tg{\alpha} = \dfrac{m - M}{\mu (m + M)}$

Теперь нужно получить значение $T$.

$T\dfrac{\tg{\alpha}}{\sqrt{1 + \tg^2{\alpha}}} = \dfrac{g(m - M)}{2} = \dfrac{\mu g (m + M)\tg{\alpha}}{2}$

$T = \sqrt{1 + \tg^2{\alpha}}\cdot \dfrac{\mu g(m + M)}{2}$

$T = \dfrac{g\sqrt{\mu^2 (m + M)^2 + (m - M)^2}}{2}$

А правильный ответ для силы $T$
$\mu g\sqrt{\dfrac{M^2 + m^2}{2}}$

В математических преобразованиях ошибок, вероятнее всего, нет (3 раза проделал). Значит, в уравнениях косяк (хотя угол найден верно)?

[DimaM]

StaticZero в сообщении #892324 писал(а):

Значит, в уравнениях косяк (хотя угол найден верно)?

У меня получились те же уравнения и тот же результат.
Скорее всего, ошибка в ответе в книжке (такое тоже бывает).

[StaticZero]

DimaM в сообщении #893426 писал(а):

ошибка в ответе в книжке (такое тоже бывает).

(Оффтоп)

не верю! Это Савченко!!

Ответ красивый, аж среднее квадратичное задействовано.

[DimaM]

StaticZero в сообщении #893693 писал(а):

не верю! Это Савченко!!

Да запросто. Несколько опечаток я лично находил.

StaticZero в сообщении #893693 писал(а):

Ответ красивый, аж среднее квадратичное задействовано.

"Любая сложная задача имеет простое, легкое для понимания неправильное решение."