2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теория множеств
Сообщение31.07.2014, 10:19 


11/07/14
132
Пусть $U$ универсальное множество. Рассмотрим отображение $f: U \to U$ такое, что существует $f^{-1}: U \to U.$ Известно, что подмножеств $A$ из $U,$ для которых $f^{-1}(A)=A,$ ровно $n.$ Какой вид имеет $n?$

Будут ли это степени двойки, например?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств
Сообщение31.07.2014, 12:51 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Dmitry Tkachenko в сообщении #892027 писал(а):
Известно, что подмножеств $A$ из $U,$ для которых $f^{-1}(A)=A,$ ровно $n.$
Если $A_1,\ldots,A_k$ - минимальные по включению непустые множества такого вида, то они попарно не пересекаются, а любое $A$ может быть получено как объединение какого-то семейства множеств из $A_1,\ldots,A_k$. Поэтому $n$ должно быть степенью двойки, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств
Сообщение31.07.2014, 13:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9215
Цюрих
patzer2097 в сообщении #892048 писал(а):
Dmitry Tkachenko в сообщении #892027 писал(а):
Известно, что подмножеств $A$ из $U,$ для которых $f^{-1}(A)=A,$ ровно $n.$
Если $A_1,\ldots,A_k$ - минимальные по включению непустые множества такого вида, то они попарно не пересекаются, а любое $A$ может быть получено как объединение какого-то семейства множеств из $A_1,\ldots,A_k$. Поэтому $n$ должно быть степенью двойки, например.


Минимальное по включение множество такого вида единственно - это $\emptyset$. А если потребовать непустоту, то уже надо доказывать, что любое множество такого вида есть объединение минимальных.

И что такое универсальное множество?

-- 31.07.2014, 13:09 --

Хотя если таких множеств конечно, то это доказывать не надо. Интересно, может ли их быть счетно (ну и вообще какие мощности, кроме $2^\alpha$ возможны).

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств
Сообщение31.07.2014, 13:49 
Заслуженный участник


14/03/10
867
mihaild в сообщении #892050 писал(а):
Хотя если таких множеств конечно, то это доказывать не надо.
:twisted:
Если их бесконечно, то ничего не меняется - $A_i\cap A$ равно или $A_i$, или $\varnothing$ при любом $i$ в силу минимальности $A_i$

mihaild в сообщении #892050 писал(а):
ну и вообще какие мощности, кроме $2^\alpha$ возможны
выходит, никакие

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств
Сообщение31.07.2014, 13:52 


11/07/14
132
Задача предполагала конечное множество $U.$ Бесконечный случай вроде такой же.

Универсальное - термин из учебника Дорогвцева.

Непустота требуется.
mihaild, почему, если конечно, то доказывать не надо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств
Сообщение31.07.2014, 15:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9215
Цюрих
Пусть $P$ - множество множеств, обладающих этим свойством.
Тогда $A \in P, B \in P \Rightarrow A \setminus B \in P$.

Пусть $P^\prime$ - множество минимальных по включению множеств из $P$.
Пусть $A$ - минимальное по включению множество из $P \setminus P^\prime$, не представляющееся как объединение множеств из $P^\prime$.
Поскольку $A \notin P^\prime$, то существует $B \in P, B \subsetneq A$.
Если $B \notin P^\prime$ или $A \setminus B \notin P^\prime$, то либо оба эти множества принадлежат $P^\prime$$A$ представляется как их объединение), либо нет, и $A$ не минимально.

Для бесконечных неочевидно существование минимального множества, не представляющегося как объединение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств
Сообщение31.07.2014, 15:29 
Заслуженный участник


14/03/10
867
mihaild в сообщении #892085 писал(а):
Для бесконечных неочевидно существование минимального множества, не представляющегося как объединение.
:twisted: Вы читаете ответы на Ваши вопросы, перед тем как задавать новые?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств
Сообщение31.07.2014, 15:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9215
Цюрих
patzer2097 в сообщении #892089 писал(а):
mihaild в сообщении #892085 писал(а):
Для бесконечных неочевидно существование минимального множества, не представляющегося как объединение.
:twisted: Вы читаете ответы на Ваши вопросы, перед тем как задавать новые?


Из указанного Вами свойства $A_i \cap A \in \{A_i, \emptyset\}$ не следует, что $A$ есть объединение каких-то из $A_i$. Нужно еще, например, чтобы $A$ покрывалось объединением $A_i$.

-- 31.07.2014, 16:01 --

Да, это правда. Для каждого $x$, входящего в какое-то $A \in P$, пересечение всех таких $A$ есть минимальное множество. Но это всё же нужно проговорить)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория множеств
Сообщение31.07.2014, 17:06 
Заслуженный участник


14/03/10
867
mihaild в сообщении #892092 писал(а):
Нужно еще, например, чтобы $A$ покрывалось объединением $A_i$ <...> Но это всё же нужно проговорить)
:twisted: Для проговаривания банальностей в учебных задачах есть Прр(М), причем проговаривать должен обычно ТС, а не я :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group