Теория множеств

[Dmitry Tkachenko]

Пусть $U$ универсальное множество. Рассмотрим отображение $f: U \to U$ такое, что существует $f^{-1}: U \to U.$ Известно, что подмножеств $A$ из $U,$ для которых $f^{-1}(A)=A,$ ровно $n.$ Какой вид имеет $n?$

Будут ли это степени двойки, например?

[patzer2097]

Dmitry Tkachenko в сообщении #892027 писал(а):

Известно, что подмножеств $A$ из $U,$ для которых $f^{-1}(A)=A,$ ровно $n.$

Если $A_1,\ldots,A_k$ - минимальные по включению непустые множества такого вида, то они попарно не пересекаются, а любое $A$ может быть получено как объединение какого-то семейства множеств из $A_1,\ldots,A_k$. Поэтому $n$ должно быть степенью двойки, например.

[mihaild]

patzer2097 в сообщении #892048 писал(а):

Dmitry Tkachenko в сообщении #892027 писал(а):

Известно, что подмножеств $A$ из $U,$ для которых $f^{-1}(A)=A,$ ровно $n.$

Если $A_1,\ldots,A_k$ - минимальные по включению непустые множества такого вида, то они попарно не пересекаются, а любое $A$ может быть получено как объединение какого-то семейства множеств из $A_1,\ldots,A_k$. Поэтому $n$ должно быть степенью двойки, например.

Минимальное по включение множество такого вида единственно - это $\emptyset$. А если потребовать непустоту, то уже надо доказывать, что любое множество такого вида есть объединение минимальных.

И что такое универсальное множество?

-- 31.07.2014, 13:09 --

Хотя если таких множеств конечно, то это доказывать не надо. Интересно, может ли их быть счетно (ну и вообще какие мощности, кроме $2^\alpha$ возможны).

[patzer2097]

mihaild в сообщении #892050 писал(а):

Хотя если таких множеств конечно, то это доказывать не надо.

Если их бесконечно, то ничего не меняется - $A_i\cap A$ равно или $A_i$, или $\varnothing$ при любом $i$ в силу минимальности $A_i$

mihaild в сообщении #892050 писал(а):

ну и вообще какие мощности, кроме $2^\alpha$ возможны

выходит, никакие

[Dmitry Tkachenko]

Задача предполагала конечное множество $U.$ Бесконечный случай вроде такой же.

Универсальное - термин из учебника Дорогвцева.

Непустота требуется.
mihaild, почему, если конечно, то доказывать не надо?

[mihaild]

Пусть $P$ - множество множеств, обладающих этим свойством.
Тогда $A \in P, B \in P \Rightarrow A \setminus B \in P$.

Пусть $P^\prime$ - множество минимальных по включению множеств из $P$.
Пусть $A$ - минимальное по включению множество из $P \setminus P^\prime$, не представляющееся как объединение множеств из $P^\prime$.
Поскольку $A \notin P^\prime$, то существует $B \in P, B \subsetneq A$.
Если $B \notin P^\prime$ или $A \setminus B \notin P^\prime$, то либо оба эти множества принадлежат $P^\prime$ (и $A$ представляется как их объединение), либо нет, и $A$ не минимально.

Для бесконечных неочевидно существование минимального множества, не представляющегося как объединение.

[patzer2097]

mihaild в сообщении #892085 писал(а):

Для бесконечных неочевидно существование минимального множества, не представляющегося как объединение.

Вы читаете ответы на Ваши вопросы, перед тем как задавать новые?

[mihaild]

patzer2097 в сообщении #892089 писал(а):

mihaild в сообщении #892085 писал(а):

Для бесконечных неочевидно существование минимального множества, не представляющегося как объединение.

Вы читаете ответы на Ваши вопросы, перед тем как задавать новые?

Из указанного Вами свойства $A_i \cap A \in \{A_i, \emptyset\}$ не следует, что $A$ есть объединение каких-то из $A_i$. Нужно еще, например, чтобы $A$ покрывалось объединением $A_i$.

-- 31.07.2014, 16:01 --

Да, это правда. Для каждого $x$, входящего в какое-то $A \in P$, пересечение всех таких $A$ есть минимальное множество. Но это всё же нужно проговорить)

[patzer2097]

mihaild в сообщении #892092 писал(а):

Нужно еще, например, чтобы $A$ покрывалось объединением $A_i$ <...> Но это всё же нужно проговорить)

Для проговаривания банальностей в учебных задачах есть Прр(М), причем проговаривать должен обычно ТС, а не я