Сохранение энергии/импульса

[StaticZero]

Спасибо большое.

(Оффтоп)

А есть ли полный сборник лекций Ершова? Буду признателен.

Давайте еще одну задачку рассмотрим.

Цитата:

Два бруска соединены пружиной, расположенной вертикально. Нижний брусок лежит на столе. На верхний брусок падает грузик. С какой минимальной высоты $h$ (отсчитывая от верхнего грузика) должен упасть грузик, чтобы нижний брусок подпрыгнул над столом? Масса верхнего бруска $m_1$, нижнего $m_2$, грузика $M$; жёсткость пружины $k$. Соударение грузика и верхнего бруска абсолютно неупругое.

Выберем в качестве нуля потенциальной энергии линию, проходящую через верхний грузик (размерами грузиков, брусков будем пренебрегать).
Рассмотрим начальный момент времени. Пишем полную энергию системы:
$E_0 = Mgh + \dfrac{kx^2}{2}$
$x$ - величина сжатия пружины; она сжата от того, что на неё давит брусок.

Рассмотрим момент времени, когда грузик упал и "продавил" верхний брусок вниз. Тогда энергия системы
$E_1 = -m_2g(y-x) - Mg(y-x) + \dfrac{ky^2}{2}$
$y$ - величина сжатия пружины (абсолютная).

Рассмотрим момент времени, когда пружина распрямилась.
$E_2 = Mgx + m_2gx + m_1g\Delta H$

$\Delta H$ - на какую высоту подпрыгнул нижний брусок со стола.

Энергия сохраняется, поэтому
$E_0 = E_1 = E_2$

Неизвестные величины $h, x, y, \Delta H$, три уравнения. Если честно, я не понимаю, из каких соображений решать здесь. Подскажите, пожалуйста.

[DimaM]

StaticZero в сообщении #891122 писал(а):

Неизвестные величины $h, x, y, \Delta H$, три уравнения.

При минимальной высоте, которую просят найти, $\Delta H=0$.

(Оффтоп)

Лекции Ершова можно взять здесь (надо промотать до конца страницы).

[StaticZero]

Из этих уравнений я могу найти только величину $y$:

$\dfrac{ky^2}{2} - g(y-x)(M+m_2) = xg(M+m_2)$
$\dfrac{ky^2}{2} = gy(M+m_2)$
$y = \dfrac{2g}{k} (M+m_2)$

После этого $y$ исключается отовсюду, и остается одно уравнения с двумя неизвестными

$Mgh + \dfrac{kx^2}{2} = xg(M+m_2)$

и никакой связи между $y$ и $x$ не видно.

[mihiv]

StaticZero в сообщении #891122 писал(а):

Энергия сохраняется, поэтому
$E_0 = E_1 = E_2$

При ударе энергия не сохраняется, т.к. удар абсолютно неупругий, а вот после удара - да.

[StaticZero]

Все равно не получается связать $h$ и $x$, $y$.

[mihiv]

StaticZero в сообщении #891122 писал(а):

Рассмотрим момент времени, когда пружина распрямилась.
$E_2 = Mgx + m_2gx + m_1g\Delta H$

Когда пружина распрямилась, натяжение равно 0, и на нижний брусок сила не действует, чтобы нижний брусок поднять пружина должна быть растянута, т.е. уравнение должно быть $E_2=(M+m_1)(x+y_1)g+m_2g\Delta H$, где $y_1$- деформация растяжения пружины. $\Delta H$ можно положить равным 0, тогда $y_1$ определим из условия $ky_1=m_2g$.

[StaticZero]

mihiv в сообщении #891915 писал(а):

$ky_1=m_2g$.

Простите, а почему именно так?

[mihiv]

StaticZero в сообщении #891935 писал(а):

почему именно так?

Чтобы 2-й брусок начал двигаться вверх, сумма проекций действующих на него сил должна быть: $ky_1-m_2g>0$. Отсюда при минимальной высоте падения груза $M$ получим $ky_1=m_2g$.

[StaticZero]

Но так они же "слиплись" вместе с грузом. Разве не должно быть тогда
$ky_1 - (M+m_2)g > 0$
?

[mihiv]

Смотрим условие: $m_2$-это нижний брусок, а груз $M$ прилипает к верхнему бруску $m_1$.

[StaticZero]

(Оффтоп)

Ну да, я по привычке цифиру 2 писал для верха.

[mihiv]

mihiv в сообщении #891915 писал(а):

пружина должна быть растянута, т.е. уравнение должно быть $E_2=(M+m_1)(x+y_1)g+m_2g\Delta H$

Забыл включить в $E_2$ энергию деформации пружины, т.е. должно быть: $E_2=(M+m_1)(x+y_1)g+\dfrac {ky_1^2}2+m_2g\Delta H$.

[StaticZero]

Так, я всё-таки решительно не понимаю.

Давайте начнём с простого.
Насколько я понимаю, если мы просто возьмём пружину с нижним грузом, то если мы нажмём на пружину, то нижний груз после распрямления не подскочит. Так ли это?

[mihiv]

StaticZero в сообщении #895272 писал(а):

если мы просто возьмём пружину с нижним грузом

В задаче по умолчанию принимается, что масса пружины равна 0, поэтому без верхнего груза не обойтись ( иначе пришлось бы рассматривать пружину как систему с распределенными параметрами).
Разберем поэтому случай когда пружина сжата весом верхнего груза $m_1$. Приложим сверху вниз дополнительную силу ( надавим пальцем ), пружина сожмется побольше, и груз остановится в новом положении равновесия. Теперь уберем дополнительную силу, груз $m_1$ начнет двигаться вверх и проскочит исходное положение равновесия ( т.е. то, которое было без дополнительной силы ). Если дополнительная сила была достаточно велика, то пружина не только распрямится, но и растянется, при этом на нижний брусок со стороны пружины будет действовать сила натяжения пружины, направленная вверх, и если растяжение пружины превысит пороговое значение $y_1=\dfrac {m_2g}k$, то нижний брусок оторвется.