2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сохранение энергии/импульса
Сообщение28.07.2014, 00:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Цитата:
На неподвижную частицу массой $m_1$ налетает частица массой $m_2$. После соударения одна из частиц отлетела под прямым углом, а другая - под углом $\alpha = \dfrac{\pi}{6}$ к первоначальному направлению движения налетевшей частицы. Найти отношение $\kappa = \dfrac{m_2}{m_1}$, если при столкновении потеряна $\eta = \dfrac{1}{5}$ часть энергии.


Закон сохранения импульса здесь работает. Пусть изначально частица двигалась вдоль оси $Oy$.
$v$ - изначальная скорость, $u$ - скорость налетевшей частицы после удара, $w$ - скорость бывшей неподвижной частицы после удара.
Тогда получим:
$Oy: m_2v = m_1w\cos{\alpha}$
$Ox: m_2u = m_1w\sin{\alpha}$

Воспользуемся законом изменения энергии:
$\dfrac{m_2v^2}{2} = \dfrac{m_2u^2}{2} + \dfrac{m_1w^2}{2} + Q$
$1 = \dfrac{u^2}{v^2} + \dfrac{m_1}{m_2}\dfrac{w^2}{v^2} + \eta$
$\left((1-\eta) - \dfrac{u^2}{v^2}\right) \dfrac{v^2}{w^2} = \dfrac{1}{\kappa}$
$(1-\eta)\dfrac{v^2}{w^2} - \dfrac{u^2}{w^2} = \dfrac{1}{\kappa}$

$\dfrac{v}{w} = \dfrac{m_1}{m_2} \cos{\alpha}$

$\dfrac{u}{w} = \dfrac{m_1}{m_2} \sin{\alpha}$

$\dfrac{1}{\kappa^2}(\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}) - \eta\dfrac{1}{\kappa^2}\cos^2{\alpha} = \dfrac{1}{\kappa}$

$\cos{2\alpha} - \eta\cos^2{\alpha} = \kappa$

$\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5}\dfrac{3}{4} = \kappa$

$\kappa = \dfrac{7}{20}$

Правильный ответ - $0, 36$. Где может быть ошибка?
Спасибо за внимание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение28.07.2014, 00:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Это вы считаете, что налетевшая отлетела под прямым углом. А если та, что была неподвижной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение28.07.2014, 00:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Два ответа в задаче? Или эту неопределенность легко устранить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение28.07.2014, 00:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Скорей всего, составители не подумали о неоднозначности (раз уж вы приводите условие буквально). А какой вариант они подразумевали - надо угадать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение28.07.2014, 11:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
В другом случае получается $\kappa = -1, 6$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение28.07.2014, 12:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Тогда ошибка в последнем десятичном знаке. Возможно, составители задачи считали ответ не в натуральных дробях, а в десятичных, и считая с точностью до одной сотой, ошиблись на одну сотую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение28.07.2014, 12:49 


03/06/13
23
Munin в сообщении #890889 писал(а):
Тогда ошибка в последнем десятичном знаке. Возможно, составители задачи считали ответ не в натуральных дробях, а в десятичных, и считая с точностью до одной сотой, ошиблись на одну сотую.

Скорее опечатка, тут разве что на корне из 3 можно округлить. Верный ответ 0,35

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение28.07.2014, 14:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Спасибо большое.
Еще одна задача:

Цитата:
Кубик массой $m$ соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высотой $H$. горка может без трения перемещаться по горизонтальной поверхности. Масса горки $M$. В конце спуска кубик ударяется о пружину с коэффициентом жесткости $k$ и сжимает её.
Определить:
а) скорости горки и кубика относительно горки в момент удара кубика о пружину;
б) ускорение горки в момент наибольшего сжатия пружины.


Решение:
а) Внутренние силы импульс системы не меняют. Поэтому изначально покоящаяся система кубик-горка будет иметь суммарный импульс относительно стола, равный $0$.
Получим
$m(v-u) = (M+m)u$
$v$ - скорость кубика относительно горки, $u$ - скорость горки относительно стола.

Так как в системе отсутствует трение, то энергия сохраняется. Получаем
$mgH = \dfrac{m(v-u)^2}{2} + \dfrac{(M+m)u^2}{2}$


б) Энергия кубика переходит в энергию пружины.
$\dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{kx^2}{2}$
$x$ - величина максимального сжатия.
Отсюда
$Ma = kx$
$a = \dfrac{k}{M}\cdot x$

Правильно ли составлены уравнения?

Два уравнения, два неизвестных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение28.07.2014, 15:25 
Заслуженный участник


28/12/12
7920
StaticZero
1. По-моему, скорость горки $u$ надо умножать на $M$, а не на $M+m$.
2. Сжатие пружины проще найти из сохранения энергии для начального и конечного момента (вначале потенциальная энергия кубика в поле тяжести, в конце потенциальная энергия сжатой пружины).
Сейчас у вас записано неправильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение28.07.2014, 15:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
DimaM в сообщении #890957 писал(а):
По-моему, скорость горки $u$ надо умножать на $M$, а не на $M+m$.

Но ведь горка же с кубиком?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение28.07.2014, 16:05 
Заслуженный участник


28/12/12
7920
StaticZero в сообщении #890961 писал(а):
Но ведь горка же с кубиком?

С кубиком она стоит. А когда начинает ехать, едет отдельно (кубик со скоростью $v-u$, горка со скоростью $u$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение28.07.2014, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
То есть система уравнений выглядит так:
$m(v-u) = Mu$

$mgh = \dfrac{m(v-u)^2}{2} + \dfrac{Mu^2}{2}$

или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение28.07.2014, 16:35 
Заслуженный участник


28/12/12
7920
StaticZero в сообщении #890980 писал(а):
То есть система уравнений выглядит так:

Да.
Есть еще хорошая штука - приведенная масса $\mu=Mm/(M+m)$, с ней уравнение совсем простое
$$
\frac{\mu v^2}{2}=mgh.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение28.07.2014, 16:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
А можно немножко объяснить, кто такая "приведённая масса"? Я здесь вижу справа полную мех. энергию системы изначально, слева - кинетическую энергию некоего объекта массы $\mu$, движущегося со скоростью $v$. Но мне это ни о чем не говорит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение28.07.2014, 16:56 
Заслуженный участник


28/12/12
7920
StaticZero в сообщении #890994 писал(а):
А можно немножко объяснить, кто такая "приведённая масса"?

Полную кинетическую энергию системы тел удобно разделить на две части: связанную с движением центра масс $MV^2/2=P^2/2M$ ($M$ - суммарная масса, ${\bf P}$ - суммарный импульс, ${\bf V}={\bf P}/M$ - скорость центра масс) - она за счет внутренних сил измениться не может, и остаток, который для двух тел может быть записан в виде $\mu v^2/2$, где ${\bf v}={\bf v}_1-{\bf v}_2$ - скорость одного тела относительно другого.
Отсылаю к лекциям, где это написано подробнее (приведенная масса возникает на стр. 8/52).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group