2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение28.07.2014, 23:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Спасибо большое.

(Оффтоп)

А есть ли полный сборник лекций Ершова? Буду признателен.


Давайте еще одну задачку рассмотрим.
Цитата:
Два бруска соединены пружиной, расположенной вертикально. Нижний брусок лежит на столе. На верхний брусок падает грузик. С какой минимальной высоты $h$ (отсчитывая от верхнего грузика) должен упасть грузик, чтобы нижний брусок подпрыгнул над столом? Масса верхнего бруска $m_1$, нижнего $m_2$, грузика $M$; жёсткость пружины $k$. Соударение грузика и верхнего бруска абсолютно неупругое.


Выберем в качестве нуля потенциальной энергии линию, проходящую через верхний грузик (размерами грузиков, брусков будем пренебрегать).
Рассмотрим начальный момент времени. Пишем полную энергию системы:
$E_0 = Mgh + \dfrac{kx^2}{2}$
$x$ - величина сжатия пружины; она сжата от того, что на неё давит брусок.

Рассмотрим момент времени, когда грузик упал и "продавил" верхний брусок вниз. Тогда энергия системы
$E_1 = -m_2g(y-x) - Mg(y-x) + \dfrac{ky^2}{2}$
$y$ - величина сжатия пружины (абсолютная).

Рассмотрим момент времени, когда пружина распрямилась.
$E_2 = Mgx + m_2gx + m_1g\Delta H$

$\Delta H$ - на какую высоту подпрыгнул нижний брусок со стола.

Энергия сохраняется, поэтому
$E_0 = E_1 = E_2$

Неизвестные величины $h, x, y, \Delta H$, три уравнения. Если честно, я не понимаю, из каких соображений решать здесь. Подскажите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение30.07.2014, 08:44 
Заслуженный участник


28/12/12
7921
StaticZero в сообщении #891122 писал(а):
Неизвестные величины $h, x, y, \Delta H$, три уравнения.

При минимальной высоте, которую просят найти, $\Delta H=0$.

(Оффтоп)

Лекции Ершова можно взять здесь (надо промотать до конца страницы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение30.07.2014, 12:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Из этих уравнений я могу найти только величину $y$:

$\dfrac{ky^2}{2} - g(y-x)(M+m_2) = xg(M+m_2)$
$\dfrac{ky^2}{2} = gy(M+m_2)$
$y = \dfrac{2g}{k} (M+m_2)$

После этого $y$ исключается отовсюду, и остается одно уравнения с двумя неизвестными

$Mgh + \dfrac{kx^2}{2} = xg(M+m_2)$

и никакой связи между $y$ и $x$ не видно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение30.07.2014, 15:09 
Заслуженный участник


03/01/09
1701
москва
StaticZero в сообщении #891122 писал(а):

Энергия сохраняется, поэтому
$E_0 = E_1 = E_2$

При ударе энергия не сохраняется, т.к. удар абсолютно неупругий, а вот после удара - да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение30.07.2014, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Все равно не получается связать $h$ и $x$, $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение30.07.2014, 20:43 
Заслуженный участник


03/01/09
1701
москва
StaticZero в сообщении #891122 писал(а):
Рассмотрим момент времени, когда пружина распрямилась.
$E_2 = Mgx + m_2gx + m_1g\Delta H$

Когда пружина распрямилась, натяжение равно 0, и на нижний брусок сила не действует, чтобы нижний брусок поднять пружина должна быть растянута, т.е. уравнение должно быть $E_2=(M+m_1)(x+y_1)g+m_2g\Delta H$, где $y_1$- деформация растяжения пружины. $\Delta H$ можно положить равным 0, тогда $y_1$ определим из условия $ky_1=m_2g$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение30.07.2014, 22:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
mihiv в сообщении #891915 писал(а):
$ky_1=m_2g$.

Простите, а почему именно так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение31.07.2014, 11:13 
Заслуженный участник


03/01/09
1701
москва
StaticZero в сообщении #891935 писал(а):
почему именно так?

Чтобы 2-й брусок начал двигаться вверх, сумма проекций действующих на него сил должна быть: $ky_1-m_2g>0$. Отсюда при минимальной высоте падения груза $M$ получим $ky_1=m_2g$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение31.07.2014, 11:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Но так они же "слиплись" вместе с грузом. Разве не должно быть тогда
$ky_1 - (M+m_2)g > 0$
?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение31.07.2014, 11:42 
Заслуженный участник


03/01/09
1701
москва
Смотрим условие: $m_2$-это нижний брусок, а груз $M$ прилипает к верхнему бруску $m_1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение31.07.2014, 14:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero

(Оффтоп)

Ну да, я по привычке цифиру 2 писал для верха.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение31.07.2014, 15:31 
Заслуженный участник


03/01/09
1701
москва
mihiv в сообщении #891915 писал(а):
пружина должна быть растянута, т.е. уравнение должно быть $E_2=(M+m_1)(x+y_1)g+m_2g\Delta H$

Забыл включить в $E_2$ энергию деформации пружины, т.е. должно быть: $E_2=(M+m_1)(x+y_1)g+\dfrac {ky_1^2}2+m_2g\Delta H$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение11.08.2014, 14:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Так, я всё-таки решительно не понимаю.

Давайте начнём с простого.
Насколько я понимаю, если мы просто возьмём пружину с нижним грузом, то если мы нажмём на пружину, то нижний груз после распрямления не подскочит. Так ли это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сохранение энергии/импульса
Сообщение11.08.2014, 16:14 
Заслуженный участник


03/01/09
1701
москва
StaticZero в сообщении #895272 писал(а):
если мы просто возьмём пружину с нижним грузом

В задаче по умолчанию принимается, что масса пружины равна 0, поэтому без верхнего груза не обойтись ( иначе пришлось бы рассматривать пружину как систему с распределенными параметрами).
Разберем поэтому случай когда пружина сжата весом верхнего груза $m_1$. Приложим сверху вниз дополнительную силу ( надавим пальцем ), пружина сожмется побольше, и груз остановится в новом положении равновесия. Теперь уберем дополнительную силу, груз $m_1$ начнет двигаться вверх и проскочит исходное положение равновесия ( т.е. то, которое было без дополнительной силы ). Если дополнительная сила была достаточно велика, то пружина не только распрямится, но и растянется, при этом на нижний брусок со стороны пружины будет действовать сила натяжения пружины, направленная вверх, и если растяжение пружины превысит пороговое значение $y_1=\dfrac {m_2g}k$, то нижний брусок оторвется.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group