Вопрос по комплексному анализу

[Kirill_Sal]

Доброго времени суток.
Начинаю знакомиться с комплексным анализом. Столкнулся с вычислением интегралов:

$$\int_{0}^{\infty} \exp(ix^2) dx$$

$$\int_{0}^{\infty} \exp(-ix^2) dx$$

Их можно вычислить подстановками $t=ix^2$ и $t=-ix^2$ соответственно, формально сводя к табличному интегралу Пуассона. Ответ совпадает. Как правильно обосновать эту подстановку с учетом того, что интеграл от вещественного аргумента переходит в интеграл по комплексной плоскости?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Otta]

Kirill_Sal в сообщении #891644 писал(а):

Их можно вычислить подстановками $t=ix^2$ и $t=-ix^2$ соответственно, формально сводя к табличному интегралу Пуассона.

Не могли бы Вы показать, как Вы это делали?

[Kirill_Sal]

$$\int_{0}^{\infty} \exp(-ix^2) dx = (\int \exp(-t^2) dt)/\sqrt{i}$$

Второй интеграл берется в комплексной плоскости. $t^2=ix^2$, т.е. $t$ принимает значения по мнимой оси от нуля до бесконечности (мне кажется, я выражаюсь не совсем грамотно). Как теперь обосновать то, что значение комплексного интеграла по этому множеству будет совпадать со значением интеграла Пуассона?

-- 30.07.2014, 00:34 --

Кстати, я ошибся в начале: подстановку я делаю не $t=ix^2$, а $t^2=ix^2$.

[Red_Herring]

Если $x$ у Вас пробегает положительную полуось, то $t$ пробегает некоторый луч (какой?). И что такое $\sqrt{t}$? Лучше записать как комплексную экспоненту.


"Обрежьте" луч (сделайте его длины $L$), соедините по дуге с лучом $(0,L)$ и используйте теорему Коши. Получится в излишке интеграл по дуге. Докажите, что он стремится к $0$ при $L\to\infty$.

[Утундрий]

Посмотрите М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат "Методы теории функций комплексного переменного". Там много такого.