База топологии.

[main.c]

Вы имеете ввиду конечная арифметическая прогрессия? Если да, то вот доказательство. Пусть $G$ какая-то конечная арифметическая прогрессия.
Множество $N \backslash G$ - бесконечно и очевидно представляется в виде объединения множеств из $B$ (если это принципиально - могу расписать всё более строго, но думаю, что это не требуется), а значит является открытым. Значит $G$ - замкнуто.

[Someone]

main.c в сообщении #890433 писал(а):

Вы имеете ввиду конечная арифметическая прогрессия?

Разве у меня употребляется слово "конечная"? Но я всё равно неточно сформулировал. Замкнутой является не любая арифметическая прогрессия, а только такая, у которой первый член не превосходит разности, если ноль не считать натуральным числом; если ноль тоже натуральное число, то первый член должен быть меньше разности.

[main.c]

Someone в сообщении #890438 писал(а):

main.c в сообщении #890433 писал(а):

Вы имеете ввиду конечная арифметическая прогрессия?

Разве у меня употребляется слово "конечная"? Но я всё равно неточно сформулировал. Замкнутой является не любая арифметическая прогрессия, а только такая, у которой первый член не превосходит разности, если ноль не считать натуральным числом; если ноль тоже натуральное число, то первый член должен быть меньше разности.

У нас арифметическая прогрессия состоит только из натуральных чисел, судя по этому утверждению прогрессия {1, 3, 5, 7, ...} является замкнутой ($1 \leq 2$). Но это не так, потому что в выбранной топологии все бесконечные арифметические прогресии - открытые множества. Наверное Вы не совсем поняли задание.

[Someone]

main.c в сообщении #890442 писал(а):

У нас арифметическая прогрессия состоит только из натуральных чисел, судя по этому утверждению прогрессия {1, 3, 5, 7, ...} является замкнутой ($1 \leq 2$).

Точно.

main.c в сообщении #890442 писал(а):

Но это не так, потому что в выбранной топологии все бесконечные арифметические прогресии - открытые множества.

Совершенно верно. Открытой она тоже является.

main.c в сообщении #890442 писал(а):

Наверное Вы не совсем поняли задание.

Ну, почему же. Понял.

[demolishka]

main.c
Подмножества топологического пространства могут быть как открытыми, так и замкнутыми одновременно. Вы с этим столкнетесь, когда познакомитесь с понятием связного топологического пространства.
Someone сформулировал несколько излишнее утверждение для данной задачи. Докажите попроще: "Бесконечная арифметическая прогрессия, в которой первый член и разность равны, является замкнутым подмножеством".

[main.c]

demolishka в сообщении #890683 писал(а):

Подмножества топологического пространства могут быть как открытыми, так и замкнутыми одновременно. Вы с этим столкнетесь, когда познакомитесь с понятием связного топологического пространства.

Да, конечно, забыл совсем, например в дискретном пространстве абсолютно любое множество является и открытым, и замкнутым.

demolishka в сообщении #890683 писал(а):

Someone
сформулировал несколько излишнее утверждение для данной задачи. Докажите попроще: "Бесконечная арифметическая прогрессия, в которой первый член и разность равны, является замкнутым подмножеством".

Ну это очевидно, пусть $G$ - такая прогрессия. Она имеет вид $\{a_n = a_1n | n \in N\}$. Множество $N\backslash G$ - является открытым, так как его можно представить в виде объединения элементов базы: $N\backslash G = \bigcup\limits_{k = 1}^{a_1-1}\{a_{kn} = k + a_1(n-1) | n \in N\}$, а значит $G$ - замкнуто.
Но я все равно не понимаю, зачем я это доказал.

[Someone]

Кстати, точно так же Вы могли бы доказать и то утверждение, которое я сформулировал.

main.c в сообщении #891217 писал(а):

Но я все равно не понимаю, зачем я это доказал.

Ну теперь предположите, что множество простых чисел конечно, и покажите, что множество $\{1\}$ открыто (ну и, конечно, замкнуто).

[main.c]

Someone в сообщении #891246 писал(а):

Кстати, точно так же Вы могли бы доказать и то утверждение, которое я сформулировал.

main.c в сообщении #891217 писал(а):

Но я все равно не понимаю, зачем я это доказал.

Ну теперь предположите, что множество простых чисел конечно, и покажите, что множество $\{1\}$ открыто (ну и, конечно, замкнуто).

Вот в том-то и дело, что я не вижу связи, между множеством $\{1\}$ и множеством простых чисел. Тут нужно использовать какое-то свойство простых чисел?

[Someone]

http://dxdy.ru/post890413.html#p890413

[main.c]

Кажется понял. Предположим, что множество простых чисел конечно, но тогда это бы означало, что множество всех натуральных чисел, начиная с 2, представляется в виде конечного объединения арифметических прогрессий, первый член и шаг которых равны. Так как это множество - конечное объединение замкнутых множеств, оно замкнуто. А значит множество $\{1\} $ - открыто, чего быть не может, так как оно не является элементом выбранной топологии. Значит множество простых чисел бесконечно.

[Someone]

main.c в сообщении #891406 писал(а):

А значит множество $\{1\} $ - открыто, чего быть не может, так как оно не является элементом выбранной топологии.

Вы здесь ссылаетесь на то, что требуется доказать, и получаете порочный круг. Ссылаться надо на то, что это множество не содержит базисной окрестности точки $1$.

[main.c]

Someone в сообщении #891591 писал(а):

main.c в сообщении #891406 писал(а):

А значит множество $\{1\} $ - открыто, чего быть не может, так как оно не является элементом выбранной топологии.

Вы здесь ссылаетесь на то, что требуется доказать, и получаете порочный круг. Ссылаться надо на то, что это множество не содержит базисной окрестности точки $1$.

Позвольте с Вами не согласиться. У нас выбрана конкретная топология, она состоит из всевозможных бесконечных арифметических прогрессий(ещё там само множества и пустое множество). Топология полностью определяет набор открытых множеств. Если множество не принадлежит топологии, то оно не открыто(по определению открытого множества). $\{1\}$ - не принадлежит топологии, а значит не является открытым множеством. Но по предположению вышло, что оно открыто, значит пришли к противоречию.
Укажите мне пожалуйста, в каком конкретно месте эти рассуждения неверны. Возможно я излишне дотошен в данном вопросе, но хотелось бы досканально разобраться в данной теме. Поэтому я должен знать, где мои рассуждения перестают быть верными.

[mihaild]

main.c в сообщении #891613 писал(а):

Someone в сообщении #891591 писал(а):

main.c в сообщении #891406 писал(а):

А значит множество $\{1\} $ - открыто, чего быть не может, так как оно не является элементом выбранной топологии.

Вы здесь ссылаетесь на то, что требуется доказать, и получаете порочный круг. Ссылаться надо на то, что это множество не содержит базисной окрестности точки $1$.

Позвольте с Вами не согласиться. У нас выбрана конкретная топология, она состоит из всевозможных бесконечных арифметических прогрессий(ещё там само множества и пустое множество). Топология полностью определяет набор открытых множеств. Если множество не принадлежит топологии, то оно не открыто(по определению открытого множества). $\{1\}$ - не принадлежит топологии, а значит не является открытым множеством. Но по предположению вышло, что оно открыто, значит пришли к противоречию.
Укажите мне пожалуйста, в каком конкретно месте эти рассуждения неверны. Возможно я излишне дотошен в данном вопросе, но хотелось бы досканально разобраться в данной теме. Поэтому я должен знать, где мои рассуждения перестают быть верными.

База топологии состоит из всевозможных бесконечных арифметических прогрессий. Сама топология больше.
Множество всевозможных арифметических прогрессий не является топологией, т.к. не замкнуто относительно объединения.

[main.c]

mihaild в сообщении #891617 писал(а):

База топологии состоит из всевозможных бесконечных арифметических прогрессий. Сама топология больше.
Множество всевозможных арифметических прогрессий не является топологией, т.к. не замкнуто относительно объединения

Точно, я совсем забыл, что у нас определена база, а не топология целиком. Тогда множество {1} - не является открытым, потому что не представляется в виде объединения элементов базы. В общем-то это то же самое, о чём сказал Someone.